对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,元交错群元对称群交错群令为,上所有元置换的集合关于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群换可以有交表法不唯，但是对换个数的奇偶性不变奇置换偶置换奇置换表成奇数个对换之积偶置换表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在表法是唯的,,置换的表示法元置换的对换表示任意轮换都可以表成对换之积对时上的变换置换的表示法令置换的表示法元置换的轮换表示性质任何元置换都可以表成不交的轮换之积，并且任意元素都是的幂，则称该群为循环群，元素为循环群的生成元。记任何个循环群必为阿贝尔群置换定义设是个非空有限集合，从集合到的个双射称为的个置换上的元置换结合律,存在整数,使得题例分析循环群定义设是群，若在中存在个元素，使得中的个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律题例分析若，则环节轮换个数。定理•定理每个有限群都与个置换群同构结合律证明由于中只有,两换群，用种颜色对个对象进行染色，当种方案在群的作用下变为另外种方案，那么我们这个时候就认为这两个方案是样的。那么在这种规定下不同的染色方案数为其中是置换的循中旋转翻转,置换群子群,四元群着色问题应用定理设是个个对象的置置换群子群的方格图形在空间中旋转翻转,置换群子群的方格图形在空间置换群子群,子群个,置换群子群,元对称群置换群子群,，元交错群元子群,于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,元交错群复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关奇置换偶置换奇置换表成奇数个对换之积偶置换表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复奇置换偶置换奇置换表成奇数个对换之积偶置换表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,元交错群元对称群置换群子群,，元交错群元子群,置换群子群,子群个,置换群子群,置换群子群的方格图形在空间中旋转翻转,置换群子群的方格图形在空间中旋转翻转,置换群子群,四元群着色问题应用定理设是个个对象的置换群，用种颜色对个对象进行染色，当种方案在群的作用下变为另外种方案，那么我们这个时候就认为这两个方案是样的。那么在这种规定下不同的染色方案数为其中是置换的循环节轮换个数。定理•定理每个有限群都与个置换群同构结合律证明由于中只有,两个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律题例分析若，则结合律,存在整数,使得题例分析循环群定义设是群，若在中存在个元素，使得中的任意元素都是的幂，则称该群为循环群，元素为循环群的生成元。记任何个循环群必为阿贝尔群置换定义设是个非空有限集合，从集合到的个双射称为的个置换上的元置换时上的变换置换的表示法令置换的表示法元置换的轮换表示性质任何元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯的,,置换的表示法元置换的对换表示任意轮换都可以表成对换之积对换可以有交表法不唯，但是对换个数的奇偶性不变奇置换偶置换奇置换表成奇数个对换之积偶置换表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,元交错群元对称群复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关元对称群置换群子群,，元交错群元子群,置换群子群的方格图形在空间中旋转翻转,置换群子群的方格图形在空间换群，用种颜色对个对象进行染色，当种方案在群的作用下变为另外种方案，那么我们这个时候就认为这两个方案是样的。那么在这种规定下不同的染色方案数为其中是置换的循个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律题例分析若，则任意元素都是的幂，则称该群为循环群，元素为循环群的生成元。记任何个循环群必为阿贝尔群置换定义设是个非空有限集合，从集合到的个双射称为的个置换上的元置换表法是唯的,,置换的表示法元置换的对换表示任意轮换都可以表成对换之积对对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群对应，因此各有!个置换的乘法与求逆置换的乘法函数的复合例如元置换，,则置换求逆求反函数，,对称群置换群交错群令为,上所有元置换的集合关于置换乘法构成群，称为元对称群的子群称为元置换群所以偶置换的集合做成的子群称为元交错群元对称群例元对称群,元交错群元对称群