•单极点的留数由下面的公式确定•如果为分式，即，，则有留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!证明！留数定理极点情况•阶极点的留数由下面的公式确定定量定义留数定理留数的计算般情况•孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负次项的系数•证明函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。

定性定义•复函数在的邻域围道积分的结果当为的解析点时，结果为零，什么都没留下当为的孤立奇点时，结果通常为个非零值式的积分•计算有理式的广义积分及其推广。

数学物理方法留数定理留数定理留数定理留数定理的应用本章小结留数定理留数引入•问题如何高效地计算解析函数的围道积分•方法由复连通域柯西定理，解析•例题计算下列定积分本章小结概念留数回路积分留下的数计算单极点般极点般孤立奇点应用直接应用•计算回路积分间接应用•计算三角有理留数定理的应用类型二的推广•被积函数是广义积分，•其中为有理式分母在实轴上有阶零点分母比分子高次或以上。

•则•例题计算下列定积分被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点，对应的留数为•其中为有理式分母在实轴上没有零点分母比分子高次或以上。

•则证明留数定理的应用解上面的积分可以化为标准形式•例题计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广•被积函数是广义积分，理的应用解被积函数是有理式，分母比分子高次，在实轴有阶零点，满足定理的推广条件。

上半平面有单极点，实轴有单极点，对应留数类型二的推广•被积函数是有理分式的广义积分•其中分母在实轴上有阶零点分母比分子高两次或以上。

•则留数定例•问题计算函平面内有单极点和，对应的留数分别为•例题计算下列定积分留数定理的应用留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!•如果为分式，即，，则有留数定理单极点情况•单极点的留数由下面的公式确定证明！!!!!!证明！!!!!!留数定理单极点情况•单极点的留数由下面的公式确定•如果为分式，即，，则有留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!例•问题计算函平面内有单极点和，对应的留数分别为•例题计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广•被积函数是有理分式的广义积分•其中分母在实轴上有阶零点分母比分子高两次或以上。

•则留数定理的应用解被积函数是有理式，分母比分子高次，在实轴有阶零点，满足定理的推广条件。

上半平面有单极点，实轴有单极点，对应留数•例题计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广•被积函数是广义积分，•其中为有理式分母在实轴上没有零点分母比分子高次或以上。

•则证明留数定理的应用解上面的积分可以化为标准形式•例题计算下列定积分被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点，对应的留数为留数定理的应用类型二的推广•被积函数是广义积分，•其中为有理式分母在实轴上有阶零点分母比分子高次或以上。

•则•例题计算下列定积分本章小结概念留数回路积分留下的数计算单极点般极点般孤立奇点应用直接应用•计算回路积分间接应用•计算三角有理式的积分•计算有理式的广义积分及其推广。

数学物理方法留数定理留数定理留数定理留数定理的应用本章小结留数定理留数引入•问题如何高效地计算解析函数的围道积分•方法由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。

定性定义•复函数在的邻域围道积分的结果当为的解析点时，结果为零，什么都没留下当为的孤立奇点时，结果通常为个非零值定量定义留数定理留数的计算般情况•孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负次项的系数•证明留数定理极点情况•阶极点的留数由下面的公式确定证明！!!!!!留数定理单极点情况•单极点的留数由下面的公式确定•如果为分式，即，，则有留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!留数定理单极点情况•单极点的留数由下面的公式确定留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!类型二的推广•被积函数是有理分式的广义积分•其中分母在实轴上有阶零点分母比分子高两次或以上。

•则留数定•例题计算下列定积分留数定理的应用类型二的推广•被积函数是广义积分，•例题计算下列定积分被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点，对应的留数为•例题计算下列定积分本章小结概念留数回路积分留下的数计算单极点般极点般孤立奇点应用直接应用•计算回路积分间接应用•计算三角有理函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。

定性定义•复函数在的邻域围道积分的结果当为的解析点时，结果为零，什么都没留下当为的孤立奇点时，结果通常为个非零值留数定理极点情况•阶极点的留数由下面的公式确定•单极点的留数由下面的公式确定•如果为分式，即，，则有留数定理例•问题计算函数的留数。

•解有个孤立奇点，是本性奇点，在该点罗朗展开!!!