不妨令取，则证明由条件知矛盾，这与为无限集所点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点开核与闭包的关系例设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，令则对切，均为的孤立点。

内点，外点边界点与聚点的关系结论内点定是聚点，外点定不是聚的边界，记为称为的全体界点组成的集合的导集，记为称为的全体聚点组成的集合注内点孤立点定属于外点定不属于，聚点边界点不定属于，例令，则且有为的边界点的闭包为称有为的聚点使得为的孤立点。

的开核，记为称为的全体内点组成的集合使得即为的内点使得为的内点使得为的外点，设，，，第二节聚点，内点，界点第二章点集欧氏空间中各类点的定义，，中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。

如果有无穷多个在中，则将会有，总之。

从而。

综上。

证毕。

，定理的证明由于，由定理立得。

现设，则对任意从而含或中点，由定理，知存在串互异的点，使，则上述取出的点列是互异点列，且证明由聚点的定义知保证收敛保证点列互异开核，导集，闭包的性质定理若，则定理若，则取时当取时当取时当若定义称点列收敛于，记为点的任意邻域内，含有无穷多个属于而异于的点设是的聚点，证明存在中的互异的点所成的点列使点存在中互异的点所成点列，使得即有有即证定理下列条件等价为的聚点存在中互异的点所成点列，使得述证明显然，下证定理下列条件等价为的聚取，则证明由条件知矛盾，这与为无限集所以，聚点的等价描述证明显然，下设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，不妨令均为的孤立点。

内点，外点边界点与聚点的关系结论内点定是聚点，外点定不是聚点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点开核与闭包的关系例设均为的孤立点。

内点，外点边界点与聚点的关系结论内点定是聚点，外点定不是聚点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点开核与闭包的关系例设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，不妨令取，则证明由条件知矛盾，这与为无限集所以，聚点的等价描述证明显然，下证定理下列条件等价为的聚点存在中互异的点所成点列，使得述证明显然，下证定理下列条件等价为的聚点存在中互异的点所成点列，使得即有有即若定义称点列收敛于，记为点的任意邻域内，含有无穷多个属于而异于的点设是的聚点，证明存在中的互异的点所成的点列使取时当取时当取时当则上述取出的点列是互异点列，且证明由聚点的定义知保证收敛保证点列互异开核，导集，闭包的性质定理若，则定理若，则，定理的证明由于，由定理立得。

现设，则对任意从而含或中点，由定理，知存在串互异的点，使，，，中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。

如果有无穷多个在中，则将会有，总之。

从而。

综上。

证毕。

，，第二节聚点，内点，界点第二章点集欧氏空间中各类点的定义使得即为的内点使得为的内点使得为的外点，设，且有为的边界点的闭包为称有为的聚点使得为的孤立点。

的开核，记为称为的全体内点组成的集合的边界，记为称为的全体界点组成的集合的导集，记为称为的全体聚点组成的集合注内点孤立点定属于外点定不属于，聚点边界点不定属于，例令，则令则对切，均为的孤立点。

内点，外点边界点与聚点的关系结论内点定是聚点，外点定不是聚点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点开核与闭包的关系例设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，不妨令取，则证明由条件知矛盾，这与为无限集所以，聚点的等价描述证明显然，下证定理下列条件等价为的聚点存在中互异的点所成点列，使设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，不妨令证定理下列条件等价为的聚点存在中互异的点所成点列，使得述证明显然，下证定理下列条件等价为的聚若定义称点列收敛于，记为点的任意邻域内，含有无穷多个属于而异于的点设是的聚点，证明存在中的互异的点所成的点列使则上述取出的点列是互异点列，且证明由聚点的定义知保证收敛保证点列互异开核，导集，闭包的性质定理若，则定理若，则，，中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。

如果有无穷多个在中，则将会有，总之。

从而。

综上。

证毕。

使得即为的内点使得为的内点使得为的外点，设，的边界，记为称为的全体界点组成的集合的导集，记为称为的全体聚点组成的集合注内点孤立点定属于外点定不属于，聚点边界点不定属于，例令，则点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点开核与闭包的关系例设是的聚点，证明的任意邻域内至少含有无穷多属于而异于的点为有限集，假如，