的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案的半径为，其圆心与点，关于直线对称，则圆的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案解析由题意知圆的圆心为半径为，所以圆的标准方程为由已知，所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为，即，联立，解得所以圆心坐标为半径，所以圆的方程为题型二与圆有关的最值问题命题点斜率型最值问题例已知实数满足方程，则的最大值为，最小值为答案解析如图，方程表示以点，为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心，到直线的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为命题点截距型最值问题例在例条件下，求的最小值和最大值解设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，故，命题点距离型最值问题例在例条件下，求的最大值和最小值解表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又因为圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值为思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略与圆有关的长度或距离的最值问题的解法般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与圆上点，有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点，和点，的直线的斜率的最值问题形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如型的最值问题，可转化为动点到定点，的距离平方的最值问题设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为答案解析的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为半径为，所以的最小值已知为圆上任意点，且点，求的最大值和最小值若求的最大值和最小值解由圆，可得，所以圆心的坐标为半径又所以，可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，所以，可得，所以的最大值为，最小值为题型三与圆有关的轨迹问题例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹解如图所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而，又，在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知圆上定点，为圆内点为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若，求线段中点的轨迹方程解设的中点为由中点坐标公式可知，点坐标为，因为点在圆上，所以，故线段中点的轨迹方程为设的中点为连结在中，设为坐标原点，连结，则⊥，所以，所以故线段中点的轨迹方程为利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思维点上两点连线的垂直平分线上，坐标为，因为⊥，⊥，所以总存在经过，四点的圆，且该圆以为直径若⊥轴，则轴，此时四边形为矩形，若与轴不垂直，则两条直线斜率都存在不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，从而直线的方程为，从而，令，解得注意到，所以，，此时所以半径的最小值为此时圆的方程为步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何圆的方程文圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆确定个圆最基本的要素是圆心和半径圆的采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知圆上定，在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而，又，可得，所以的最大值为，最小值为题型三与圆有关的轨迹问题例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹解如图又所以，可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，所以上任意点，且点，求的最大值和最小值若求的最大值和最小值解由圆，可得，所以圆心的坐标为半径上的动点，是直线上的动点，则的最小值为答案解析的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为半径为，所以的最小值已知为圆斜率的最值问题形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如型的最值问题，可转化为动点到定点，的距离平方的最值问题设是圆题的解法般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与圆上点，有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点，和点，的直线的最大值和最小值如图又因为圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值为思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略与圆有关的长度或距离的最值问故，命题点距离型最值问题例在例条件下，求的最大值和最小值解表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得角为命题点截距型最值问题例在例条件下，求的最小值和最大值解设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜满足方程，则的最大值为，最小值为答案解析如图，方程表示以点，为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心，到直线，即，联立，解得所以圆心坐标为半径，所以圆的方程为题型二与圆有关的最值问题命题点斜率型最值问题例已知实数解析由题意知圆的圆心为半径为，所以圆的标准方程为由已知，所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为的半径为，其圆心与点，关于直线对称，则圆从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用上，，，填是或不是的对顶角，要使，还需添加个条件，这个条件可以是只需写出个答案三解答题广东东莞分已知如图在上，且，求证答案又，≌即山东菏泽分已知如图分别是的平分线求证证明在与中已知公共边平分，平分≌浙江省≌第题图答案证明与是平行四边形的对边，，分分在和中，分分又湖北宜昌分如图，在平行四边形中，为中点，的延长线与的延长线相交于点证明证明已知如图，在中，为上的点，平分，且，求证答案证明平分又≌中线⊥，⊥在与中≌，江苏镇江分≌湖南衡阳分如图，在中，是中线，分别过点作及其延长线的垂线，垂足分别为点求证证明在中，是即湖北武汉市分本题满分分如图，分别是，上的点，且，求证答案证明在和中，⊥广东省分已知如图在上，且，求证答案又，≌的中点图≌中点，将块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与重合，连结试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想答案，⊥，点是在和中≌四川内江分如图，在中，点是的，福建福州分如图，于点，于点，交于点，且求证答案证明，第题图由知≌，三解答题广东东莞分已知如图在上，且，求证答案又，≌答案广东湛江，分如图，点，在同直线上，，，填是或不是的对顶角，要使，还需添加个条件，这个条件可以是只需写出个答案所示，两块完全相同的含角的直角三角形叠放在起，且。

有以下四个结论⊥≌为的中点，其中正确结论的序号是错填得分，少填酌情给分周长相等的等腰直角三角形都全等答案安徽芜湖分如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为答案二填空题江西分如图，第题图答案上海分下列命题中，真命题是周长相等的锐角三角形都全等周长相等的直角三角形都全等周长相等的钝角三角形都全等，第题图答案上海分下列命题中，真命题是周长相等的锐角三角形都全等周长相等的直角三角形都全等周长相等的钝角三角形都全等周长相等的等腰直角三角形都全等答案安徽芜湖分如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为答案二填空题江西分如图所示，两块完全相同的含角的直角三角形叠放在起，且。

有以下四个结论⊥≌为的中点，其中正确结论的序号是错填得分，少填酌情给分答案广东湛江，分如图，点，在同直线上，，，填是或不是的对顶角，要使，还需添加个条件，这个条件可以是只需写出个答案三解答题广东东莞分已知如图在上，且，求证答案又，≌第题图由知≌福建福州分如图，于点，于点，交于点，且求证答案证明，在和中≌四川内江分如图，在中，点是的中点，将块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与重合，连结试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想答案，⊥，点是的中点图≌⊥广东省分已的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案的半径为，其圆心与点，关于直线对称，则圆的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案解析由题意知圆的圆心为半径为，所以圆的标准方程为由已知，所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为，即，联立，解得所以圆心坐标为半径，所以圆的方程为题型二与圆有关的最值问题命题点斜率型最值问题例已知实数满足方程，则的最大值为，最小值为答案解析如图，方程表示以点，为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心，到直线的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为命题点截距型最值问题例在例条件下，求的最小值和最大值解设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，故，命题点距离型最值问题例在例条件下，求的最大值和最小值解表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又因为圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值为思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略与圆有关的长度或距离的最值问题的解法般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与圆上点，有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点，和点，的直线的斜率的最值问题形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如型的最值问题，可转化为动点到定点，的距离平方的最值问题设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为答案解析的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为半径为，所以的最小值已知为圆上任意点，且点，求的最大值和最小值若求的最大值和最小值解由圆，可得，所以圆心的坐标为半径又所以，可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，所以，可得，所以的最大值为，最小值为题型三与圆有关的轨迹问题例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹解如图所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而，又，在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知圆上定点，为圆内点为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若，求线段中点的轨迹方程解设的中点为由中点坐标公式可知，点坐标为，因为点在圆上，所以，故线段中点的轨迹方程为设的中点为连结在中，设为坐标原点，连结，则⊥，所以，所以故线段中点的轨迹方程为利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思维点上两点连线的垂直平分线上，