最小值为答案温馨提醒利用基本不等式求最值，定要注意应用条件尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，定要保证等号成立的条件致方法与技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数式的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数的单调性失误与防范使用基本不等式求最值，“正”“二定”“三相等”三个条件缺不可连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件致组专项基础训练时间分钟下列不等式定成立的是，答案解析当时所以，故不正确运用基本不等式时需保证“正”“二定“三相等”，而当，时，的正负不定，故不正确由基本不等式可知，正确当时，有，故不正确设非零实数则是“成立”的条件答案必要不充分解析因为，时，都有，即，而⇔，所以是“成立”的必要不充分条件已知则的最小值是答案解析依题意，得，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是重庆改编若，则的最小值是答案解析由题意得，所以又，所以，所以，故所以，当且仅当时取等号已知正数，满足，则的最小值为答案解析由，得，且规定记号“⊗”表示种运算，即⊗为正实数若⊗，则的值为，此时函数⊗的最小值为答案解析⊗，即，或舍去⊗，当且仅当，即时等号成立已知，且，则的最小值为答案解析即若正数，满足，则的最小值是答案解析正数，满足，解得同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为若当时，不等式恒成立，则的取值范围是答案，解析设，因为，所以，故，当且仅当时等号成立，所以的取值范围是，若关于的方程有解，则实数的取值范围是答案，解析分离变量得，得南通二模已知，且求的最大值求的最小值解，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立因此有解得此时有最大值当，时，有最大值，，当且仅当时，等号成立由解得，的最小值为组专项能力提升时间分钟设，均为正实数，且，则的最小值为答案解析由得均为正实数，当且仅当时等号成立，即，解得，即，的最小值为已知则使得，恒成立的的取值范围是答案，解析因为当且仅当时等号成立，所以要使不等式恒成立，则，恒成立，即，所以，因为，所以即，所以使不等式恒成立的的取值范围是，已知，且满足，则的取值范围为答案，解析，而当且仅当时取等号又，即，当且仅当时取等号综上可知设，若是与的等比中项，则的最小值为答案解析由题意知，即，，当且仅当时，等号成立经市场调查，旅游城市在过去的个月内以天计，第天，的旅游人数万人近似地满足，而人均消费元近似地满足求该城市的旅游日收益万元与时间，的函数关系式求该城市旅游日收益的最小值解当，时时取最小值当，时，因为递减，所以时，有最小值，所以，时，的最小值为万元步步高江苏专用版高考数学轮复习第七章不等式基本不等式及其应用文基本不等式基本不等式成立的条件，等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式，，同号，，以上不等式等号成立的条件均为算术平均数与几何平均数设，则，的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数利用基本不等式求最值问题已知，则如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值简记积定和最小如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值简记和定积最大思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”函数的最小值是函数，，的最小值等于“且”是的充要条件若，则的最小值为不等式与有相同的成立条件教材改编设，且，则的最大值为答案解析即，当且仅当时，若实数，满足，且，则的最小值为答案解析由得，又，所以，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为若函数在处取最小值，则答案解析当时，，当且仅当，即时取等号，即当取得最小值时即教材改编若把总长为的篱笆围成个矩形场地，则矩形场地的最大面积是答案解析设矩形的边为，则另边为，，当且仅当，即时，教材改编已知，，且，则的最大值为答案解析当且仅当，即时，题型利用基本不等式求最值命题点配凑法求最值例已知的最小值为函数的最大值为答案解析因为，则当且仅当，即时，等号成立故的最大值为当且仅当，即时，等号成立令，则，所以当，即时当，即时因为当且仅当时取等号，所以，即的最大值为当，即时取得最大值思维升考数学轮复习第七章不等式基本不等式及其应用文基本不等式基本不等式成立的条件，等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式，，同号，，以上不等式等号成立的条件均为算术平均数与几何平均数设，则，的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数利用基本不等式求最值问题已知设所用时间为，，所以，这次行车总费用关于的表达式是，，或，当且仅当，即限制单位千米时假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元求这次行车总费用关于的表达式当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解，则，故的取值范围是，题型三不等式的实际应用例运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规当且仅当时，等号成立，故的最小值等于对任意，恒成立，即恒成立，即知设，为正数的等比数列满足，可得，所以，解得或舍去因为，所以，所以，所以所以则的取值范围是答案，解析由各项均均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为已知函数，若对于任意，恒成立，式子变形，然后利用基本不等式求解条件不等式的最值问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围已知各项的最大值为答案解析由得又的最大值为思维升华应用基本不等式判断不等式是否成立对所给不等式或由题意知当且仅当时，等号成立命题点求参数的值或取值范围例已知，若不等式恒成立，则，即因此因为，所以当且仅当时等号成立由此可得，且，即，时，取得最小值，且则的最小值是答案解析圆化成标准方程，得，所以圆心为，因为直线经过圆心，所以的综合命题点用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例已知直线经过圆的圆心，则的最小值是已知，的等比中项是，当且仅当时等号成立设，则又，故当，时，题型二基本不等式与学科知识，当且仅当时取等号，解得由已知得方法消元法，若的最小值为，则已知则的最小值为答案解析由得，据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值已知，，，据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值已知，，若的最小值为，则已知则的最小值为答案解析由得当且仅当时取等号，解得由已知得方法消元法，当且仅当时等号成立设，则又，故当，时，题型二基本不等式与学科知识的综合命题点用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例已知直线经过圆的圆心，则的最小值是已知，的等比中项是，且则的最小值是答案解析圆化成标准方程，得，所以圆心为，因为直线经过圆心，所以，即因此因为，所以当且仅当时等号成立由此可得，且，即，时，取得最小值由题意知当且仅当时，等号成立命题点求参数的值或取值范围例已知，若不等式恒成立，则的最大值为答案解析由得又的最大值为思维升华应用基本不等式判断不等式是否成立对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解条件不等式的最值问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是答案，解析由各项均为正数的等比数列满足，可得，所以，解得或舍去因为，所以，所以，所以所以当且仅当时，等号成立，故的最小值等于对任意，恒成立，即恒成立，即知设，，则，故的取值范围是，题型三不等式的实际应用例运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制单位千米时假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元求这次行车总费用关于的表达式当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解设所用时间为，，所以，这次行车总费用关于的表达式是，，或，当且仅当，即，等号成立故当千米时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元思维升华设变量时般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解工厂种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，万元当年产量不小于千件时，万元每件商品售价为万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式当年产量为多少千件时，该厂在这商品的生产中所获利润，当且仅当时取等号，故的加利福尼亚的政府首脑，并站在麦迪逊花园广场上，代表美国总统讲话。

这年的加州州长竞选，最终以高票当选。

在就职演说上，他自豪地宣布“这是个了不起的时刻。

想想看，当年那个来自奥地利的骨瘦如柴的孩子成长为加