了结论结论根据定义，求作向量和，并比较。

已知向量求作向量和，并比较。

观察总结是个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作。

向量的数乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到探究向量与在方向与长度上有什么变化当时，的方向与方向相同当时，的方向与方向相反般地，我们规定实数与向量的积向量的方向与的方向相同，向量的长度是的倍，即向量的方向与的方向相反，向量的长度是的倍，即其中位移速度，力加速度都是向量，时间质量都是数量练习引入。

和，作出已知非零向量则向量加法平行四边形法则首尾相连首尾接起点相同连对角向量减法法则共起点，连终点，方向指向被减数向量数乘问题的实际背景在物理中位移与速度的关系，力与加速度的关系练习二知识应用证明向量共线证明三点共线概念与定理的定义及运算律向量共线定理向量与共线知识回顾向量加法三角形法分析由所以在平行四边形中为的中点，则等于，得提示设则，设边上点，且中是等于则又与有公共点，能力提升如图，在平行四边形中，点是中点，点在线段上，且有，求证三点共线。

三点共线三点共线已知任意两非零向量，试作。

你能判断三点之间的位置关系吗为什么又，试证明和共线。

变式如图，已知，试判断三点位置关系结论向量共线定理可用来解决向量共线和三点共线问题。

解作图如右依图猜想又与共线如图，已知，试证明与共线。

摇身变例又与有公共点，三点共线定理应用变式如图，已知为任意实数，则有实践出真知解根据定义，求作向量和，并比较。

已知向量求作向量和，并比较。

观察总结运算律设为任意向量，乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到了结论结论当时，的方向与方向相同当时，的方向与方向相反般地，我们规定实数与向量的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作。

向量的数乘当时，的方向与方向相同当时，的方向与方向相反般地，我们规定实数与向量的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作。

向量的数乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到了结论结论根据定义，求作向量和，并比较。

已知向量求作向量和，并比较。

观察总结运算律设为任意向量，为任意实数，则有实践出真知解又与共线如图，已知，试证明与共线。

摇身变例又与有公共点，三点共线定理应用变式如图，已知，试证明和共线。

变式如图，已知，试判断三点位置关系结论向量共线定理可用来解决向量共线和三点共线问题。

解作图如右依图猜想三点共线三点共线已知任意两非零向量，试作。

你能判断三点之间的位置关系吗为什么又又与有公共点，能力提升如图，在平行四边形中，点是中点，点在线段上，且有，求证三点共线。

提示设则，设边上点，且中是等于则分析由所以在平行四边形中为的中点，则等于，得练习二知识应用证明向量共线证明三点共线概念与定理的定义及运算律向量共线定理向量与共线知识回顾向量加法三角形法则向量加法平行四边形法则首尾相连首尾接起点相同连对角向量减法法则共起点，连终点，方向指向被减数向量数乘问题的实际背景在物理中位移与速度的关系，力与加速度的关系其中位移速度，力加速度都是向量，时间质量都是数量练习引入。

和，作出已知非零向量向量的方向与的方向相同，向量的长度是的倍，即向量的方向与的方向相反，向量的长度是的倍，即探究向量与在方向与长度上有什么变化当时，的方向与方向相同当时，的方向与方向相反般地，我们规定实数与向量的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作。

向量的数乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到了结论结论根据定义，求作向量和，并比较。

已知向量求作向量和，并比较。

观察总结运算律设为任意向量，为任意实数，则有实践出真知乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到了结论结论为任意实数，则有实践出真知解，试证明和共线。

变式如图，已知，试判断三点位置关系结论向量共线定理可用来解决向量共线和三点共线问题。

解作图如右依图猜想又与有公共点，能力提升如图，在平行四边形中，点是中点，点在线段上，且有，求证三点共线。

分析由所以在平行四边形中为的中点，则等于，得则向量加法平行四边形法则首尾相连首尾接起点相同连对角向量减法法则共起点，连终点，方向指向被减数向量数乘问题的实际背景在物理中位移与速度的关系，力与加速度的关系向量的方向与的方向相同，向量的长度是的倍，即向量的方向与的方向相反，向量的长度是的倍，即是个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作。

向量的数乘定义它的长度和方向规定如下长度方向特别地，当或时，几何意义将的长度扩大或缩小倍，改变或不改变的方向，就得到