和所成的角又⊥，⊥平行四边形条直线的两个平面平行”可知项正确由⊥，可知⊥，故项错由⊥，可知与可能平行，也可能⊂，也可能相交，故项错解析答案给出下列关于互不相同的直线和平面等分点为，取上靠，则若⊥，⊥，则若⊥，，则若⊥，，则⊥解析，，则与可能平行，也可能相交，故项错由“同垂直于系列立体几何中的探索性问题温馨提醒解析答案返回答题模板在棱上找点，使平面，并证明解当点位于棱上靠近的三等分点处时，可使平面分证明如下取上靠近的三模板系列典例分如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，其中，，⊥底面，求四棱锥的体积答题模板析答案思维升华如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱⊥底面，在侧面内，有⊥于，且，试在上找点，使平面跟踪训练解析答案返回答题平面，又∩，所以平面平面跟踪训练解析答案例如图所示，在四面体中，截面平行于对棱和，试问截面在什么位置时其截面面积最大题型三平行关系的综合应用解的中点求证平面平面证明因为，⊥，所以是的中点又因为是的中点，所以，又⊄平面，⊂平面，所以平面，同理平面解析答案在本例条件下，若，分别为，的中点，求证平面平面解析答案思维升华如图，在三棱锥中，过作⊥，垂足为点，分别是棱解析答案引申探究在本例条件下，若为的中点，求证平面证明如图所示，连结为的中点，为的中点，，又⊄平面，⊂平面⊂平面，平面綊，四边形是平行四边形，⊄平面，⊂平面，平面∩，平面平面，又，四点共面题型二平面与平面平行的判定与性质解析答案平面平面证明，分别是，的中点，⊄平面为矩形解析答案例如图所示，在三棱柱中分别是，的中点，求证，四点共面证明，分别是，的中点，是的中位线，且，同理，四边形为平行四边形，，为异面直线和所成的角又⊥，⊥平行四边形图所示均与平面平行分别在，上，且⊥求证四边形是矩形证明平面，而平面∩平面，同理，求四边形的面积解析答案思维升华如图所示，在四棱锥中，，，为的中点求证平面跟踪训练解析答案如⊥平面，平面证明证明因为平面，⊂平面，且平面∩平面，所以同理可证，因此解析答案若平面解析答案命题点直线与平面平行性质定理的应用例安徽如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为点，分别是棱，上共面的四点，平面⊥平面解析答案命题点直线与平面平行性质定理的应用例安徽如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为点，分别是棱，上共面的四点，平面⊥平面，平面证明证明因为平面，⊂平面，且平面∩平面，所以同理可证，因此解析答案若，求四边形的面积解析答案思维升华如图所示，在四棱锥中，，，为的中点求证平面跟踪训练解析答案如图所示均与平面平行分别在，上，且⊥求证四边形是矩形证明平面，而平面∩平面，同理，且，同理，四边形为平行四边形，，为异面直线和所成的角又⊥，⊥平行四边形为矩形解析答案例如图所示，在三棱柱中分别是，的中点，求证，四点共面证明，分别是，的中点，是的中位线，又，四点共面题型二平面与平面平行的判定与性质解析答案平面平面证明，分别是，的中点，⊄平面，⊂平面，平面綊，四边形是平行四边形，⊄平面，⊂平面，平面∩，平面平面解析答案引申探究在本例条件下，若为的中点，求证平面证明如图所示，连结为的中点，为的中点，，又⊄平面，⊂平面，平面解析答案在本例条件下，若，分别为，的中点，求证平面平面解析答案思维升华如图，在三棱锥中，过作⊥，垂足为点，分别是棱的中点求证平面平面证明因为，⊥，所以是的中点又因为是的中点，所以，又⊄平面，⊂平面，所以平面，同理平面，又∩，所以平面平面跟踪训练解析答案例如图所示，在四面体中，截面平行于对棱和，试问截面在什么位置时其截面面积最大题型三平行关系的综合应用解析答案思维升华如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱⊥底面，在侧面内，有⊥于，且，试在上找点，使平面跟踪训练解析答案返回答题模板系列典例分如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，其中，，⊥底面，求四棱锥的体积答题模板系列立体几何中的探索性问题温馨提醒解析答案返回答题模板在棱上找点，使平面，并证明解当点位于棱上靠近的三等分点处时，可使平面分证明如下取上靠近的三等分点为，取上靠，则若⊥，⊥，则若⊥，，则若⊥，，则⊥解析，，则与可能平行，也可能相交，故项错由“同垂直于条直线的两个平面平行”可知项正确由⊥，可知⊥，故项错由⊥，可知与可能平行，也可能⊂，也可能相交，故项错解析答案给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题若与为异面直线，⊂，⊂，则若，⊂，⊂，则若∩，∩∩，，则其中真命题的个数为解析答案下列四个正方体图形中为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是解析中易知，，平面平面可得出平面如图中，，能得出平面解析答案在四面体中分别是，的重心，则四面体的四个面中与平行的是解析如图，取的中点，连结，则∶∶，∶∶，所以所以平面，平面平面与平面解析答案解析答案如图所示，是棱长为的正方体，分别是下底面的棱的中点，是上底面的棱上的点过的平面交上底面于，在上，则如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，是的中点，动点在四边形上及其内部运动，则满足条件时，有平面解析因为，，所以平面平面，故线段上任意点与相连，都有平面答案不唯线段解析答案如图，与为平行四边形，分别是的中点求证平面证明如图，连结，则必过与的交点，连结，则为的中位线，所以，又⊄平面，⊂平面，所以平面解析答案平面平面证明因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以，又⊄平面，⊂平面，所以平面又为中点，所以为的中位线，所以，又⊄平面，⊂平面，所以平面，又与为平面内的两条相交直线，所以平面平面解析答案如图，分别是正方体的棱的中点求证平面证明取的中点，连结易证四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理即可证平面解析答案平面平面证明由题意可知如图，连结，易证四边形是平行四边形，故又∩，∩，所以平面平面解析答案已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是若⊥，⊥，则若，，则若⊂，⊂，，则若，是异面直线，⊂，，⊂，，则解析答案如图，空间四边形的两条对棱的长分别为和，则平行于两条对棱的截面四边形在平移过程中，周长的取值范围是解析设周长又，周长的范围为解析答案在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足条件时，有平面平面解析答案∙四川改编个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示请将字母标记在正方体相应的顶点处不需说明理由解点的位置如图所示解析答案判断平面与平面的位置关系并证明你的结论解平面平面，证明如下因为为正方体，所以又所以于是为平行四边形，所以，又⊂平面，⊄平面，所以平面，同理平面，又∩，所以平面平面解析答案第八章立体几何直线平面平行的判定与性质内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析答题模板系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论∩∅⊂，⊄，，⊂，∩∩∅知识梳理答案面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件，⊂结论∩∅⊂，⊂，∩，，，∩，∩答案判断下面结论是否正确请在括号中打或“”若条直线平行于个平面内的条直线，则这条直线平行于这个平面若条直线平行于个平面，则这条直线平行于这个平面内的任条直线如果个平面内的两条直线平行于另个平面，那么这两个平面平行思考辨析答案如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面若直线与平面内无数条直线平行，则空间四边形中分别是，的中点，则平面若，直线，则答案若直线不平行于平面，且⊄，则下列说法正确的是内的所有直线与异面内不存在与平行的直线内存在唯的直线与平行内的直线与都相交解析由题意知，直线与平面相交，则直线与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有是正确的考点自测解析答案设是三个不同的平面是两条不同的直线，在命题“∩，⊂，且，则”中的横线处填入下列三组条件中的组，使该命题为真命题，⊂，，⊂可以填入的条件有解析由面面平行的性质定理可知，正确当，⊂时，和在同平面内，且没有公共点，所以平行，正确或解析答案下列命题中正确的是若，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行平行于同条直线的两个平面平行若直线，和平面满足，，⊄，则解析中，可以在过的平面内中，与内的直线可能异面中，两平面可相交中，由直线与平面平行的判定定理知，，正确解析答案如图，正方体中，为的中点，则与平面的位置关系为平行解析如图，连结，设∩，连结，在中，为的中点，所以为的中位线，则，而⊄平面，⊂平面，所以平面解析答案过三棱柱任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有条解析各中点连线如图，只有面与面平行，在四边形中有条符合题意解析答案返回题型分类深度剖析例如图，四棱锥中，分别为线段的中点，与交于点，是线段上点求证平面命题点直线与平面平行的判定题型直线与平面平行的判定与性质解析答案求证平面证明连结，分别是，的中点，，平面又是的中点，是的中点，，平面又∩，平面平面又⊂平面，平面解析答案命题点直线与平面平行性质定理的应用例安徽如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为点，分别是棱，上共面的四点，平面⊥平面，平面证明证明因为平面，⊂平面，且平面∩平面，所以同理可证，因此解析答案若，求四边形的面积解析答案思维升华如图所示，在四棱锥中，，，为的中点求证平面跟踪训练解析答案如图所示均与平面平行分别在，上，且⊥求证四边形是矩形证明平面，而平面∩平面，同理，且，同理，四边形为平行四边形，，为异面直线和所成的角又⊥，⊥平行四边形⊥平面，平面证明证明因为平面，⊂平面，且平面∩平面，所以同理可证，因此解析答案若图所示均与平面平行分别在，上，且⊥求证四边形是矩形证明平面，而平面∩平面，同理为矩形解析答案例如图所示，在三棱柱中分别是，的中点，求证，四点共面证明，分别是，的中点，是的中位线，⊂平面，平面綊，四边形是平行四边形，⊄平面，⊂平面，平面∩，平面平面平面解析答案在本例条件下，若，分别为，的中点，求证平面平面解析答案思维升华如图，在三棱锥中，过作⊥，垂足为点，分别是棱平面，又∩，所以平面平面跟踪训练解析答案例如图所示，在四面体中，截面平行于对棱和，试问截面在什么位置时其截面面