⊥平面⊥或⊥等解析答案如图，直三棱柱中，侧棱长为，是的中点，是上的动点交于点要使⊥平面，则线时，平面⊥平面只要填写个你认为是正确的条件即可解析由定理可知，⊥当⊥或⊥，即有⊥平面而⊂平面，平面不平行，充分性不成立，反之，，定有⊥，必要性成立必要而不充分解析答案如图所示，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的动点，当点满足确的是解析答案∙福建改编若，是两条不同的直线，垂直于平面，则“⊥”是“”的条件解析垂直于平面，当⊂时，也满足⊥，但直线与平面的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，学生得出下列四个结论⊥是等边三角形三棱锥是正三棱锥平面⊥平面其中正则下列命题正确的是若⊥，，则⊥若，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥解析答案如图，以等腰直角三角形面证明⊥解析如图所示，⊥，⇒⊥⇒，只有不定成立解析答案∙浙江改编设是两条不同的直线，是两个不同的平面，示，四边形中，，将沿对角线折起，记折起后的位置为点，且使平面⊥平面题型二平面与平面垂直的判定与性质求证⊥平解析答案思维升华如图所示，已知为圆的直径，点为线段上点，且，点为圆上点，且，⊥平面，求证⊥跟踪训练解析答案例如图所图由平面⊥平面，知⊥平面又为中点，因此到平面的距离是长度的半在中所以面又因，分别为，的中点，所以，所以⊥平面题型直线与平面垂直的判定与性质解析答案求三棱锥的体积解在平面内，作⊥，交的延长线于，如，分别为的中点求证⊥平面证明由已知得≌，因此又为的中点，所以⊥同理⊥，又∩，因此⊥平为边的高同理可证，为底边上的高，即为的垂心垂解析答案返回题型分类深度剖析例辽宁如图，和所在平面互相垂直，且，于点，⊥，⊥，∩，⊥平面，⊂平面，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥，即中所以，即为的外心外解析答案若⊥，⊥，⊥，则点是的心解析如图，延长分别交对边，共对解析答案在三棱锥中，点在平面中的射影为点，若，则点是的心解析如图，连结在和由于⊥平面，故平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，由于⊥平面，故平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，共对解析答案在三棱锥中，点在平面中的射影为点，若，则点是的心解析如图，连结在和中所以，即为的外心外解析答案若⊥，⊥，⊥，则点是的心解析如图，延长分别交对边于点，⊥，⊥，∩，⊥平面，⊂平面，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥，即为边的高同理可证，为底边上的高，即为的垂心垂解析答案返回题型分类深度剖析例辽宁如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点求证⊥平面证明由已知得≌，因此又为的中点，所以⊥同理⊥，又∩，因此⊥平面又因，分别为，的中点，所以，所以⊥平面题型直线与平面垂直的判定与性质解析答案求三棱锥的体积解在平面内，作⊥，交的延长线于，如图由平面⊥平面，知⊥平面又为中点，因此到平面的距离是长度的半在中所以解析答案思维升华如图所示，已知为圆的直径，点为线段上点，且，点为圆上点，且，⊥平面，求证⊥跟踪训练解析答案例如图所示，四边形中，，将沿对角线折起，记折起后的位置为点，且使平面⊥平面题型二平面与平面垂直的判定与性质求证⊥平面证明⊥解析如图所示，⊥，⇒⊥⇒，只有不定成立解析答案∙浙江改编设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是若⊥，，则⊥若，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥解析答案如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，学生得出下列四个结论⊥是等边三角形三棱锥是正三棱锥平面⊥平面其中正确的是解析答案∙福建改编若，是两条不同的直线，垂直于平面，则“⊥”是“”的条件解析垂直于平面，当⊂时，也满足⊥，但直线与平面不平行，充分性不成立，反之，，定有⊥，必要性成立必要而不充分解析答案如图所示，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的动点，当点满足时，平面⊥平面只要填写个你认为是正确的条件即可解析由定理可知，⊥当⊥或⊥，即有⊥平面而⊂平面，平面⊥平面⊥或⊥等解析答案如图，直三棱柱中，侧棱长为，是的中点，是上的动点交于点要使⊥平面，则线段的长为解析答案如图，⊥圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的点分别是点在，上的射影，给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面其中正确结论的序号是解析答案点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题三棱锥的体积不变平面⊥平面⊥平面其中正确的命题序号是解析答案湖北如图，在正方体中分别是棱，的中点求证直线平面证明如图，连结，由是正方体，知，因为，分别是，的中点，所以，从而而⊂平面，且⊄平面，故直线平面解析答案直线⊥平面解析答案如图，在四棱锥中，，⊥平面⊥底面，⊥和分别是的中点求证⊥底面解析答案证明平面∩平面又平面⊥平面，且⊥⊥底面平面解析答案证明为的中点，，且四边形为平行四边形又⊄平面，⊂平面，平面解析答案平面⊥平面如图，在斜三棱柱中，，⊥，则在底面上的射影必在直线上直线上直线上内部解析由⊥，⊥，⊥平面又⊂面，平面⊥平面在面上的射影必在两平面交线上解析答案第八章立体几何直线平面垂直的判定与性质内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习直线与平面垂直图形条件结论判定⊥，⊂为内的条直线⊥⊥，⊥，⊂，⊥，⊥∩任意⊥知识梳理答案性质⊥，⊥⊥，⊥⊂答案平面与平面垂直平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条，那么这两个平面互相垂直直二面角垂线⊂⊥⇒⊥答案文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在个平面内垂直于它们的直线垂直于另个平面⊥∩⊂⊥⇒⊥交线答案判断下面结论是否正确请在括号中打或“”直线与平面内的无数条直线都垂直，则⊥若直线⊥平面，直线，则直线与垂直直线⊥，⊥，则若⊥，⊥⇒⊥，⊂⇒⊥若两平面垂直，则其中个平面内的任意条直线垂直于另个平面思考辨析答案下列条件中，能判定直线⊥平面的是与平面内的两条直线垂直与平面内无数条直线垂直与平面内的条直线垂直与平面内任意条直线垂直解析由直线与平面垂直的定义，可知正确考点自测解析答案设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，则“⊥”是“⊥”的条件解析若⊥，因为∩，⊂，⊥，所以根据两个平面垂直的性质定理可得⊥，又⊂，所以⊥反过来，当时，因为⊥，且，共面，定有⊥，但不能保证⊥，所以不能推出⊥充分不必要解析答案已知平面⊥，∩，是空间点，且到平面的距离分别是，则点到的距离为解析如图，⊂平面，⊥就是到直线的距离，⊥，四边形为矩形，解析答案垂直于正方形所在的平面，连结，则定互相垂直的平面有对解析由于⊥平面，故平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，共对解析答案在三棱锥中，点在平面中的射影为点，若，则点是的心解析如图，连结在和中所以，即为的外心外解析答案若⊥，⊥，⊥，则点是的心解析如图，延长分别交对边于点，⊥，⊥，∩，⊥平面，⊂平面，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥，即为边的高同理可证，为底边上的高，即为的垂心垂解析答案返回题型分类深度剖析例辽宁如图，和所在平面互相垂直，且，，共对解析答案在三棱锥中，点在平面中的射影为点，若，则点是的心解析如图，连结在和于点，⊥，⊥，∩，⊥平面，⊂平面，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥，即，分别为的中点求证⊥平面证明由已知得≌，因此又为的中点，所以⊥同理⊥，又∩，因此⊥平图由平面⊥平面，知⊥平面又为中点，因此到平面的距离是长度的半在中所以示，四边形中，，将沿对角线折起，记折起后的位置为点，且使平面⊥平面题型二平面与平面垂直的判定与性质求证⊥平则下列命题正确的是若⊥，，则⊥若，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥解析答案如图，以等腰直角三角形确的是解析答案∙福建改编若，是两条不同的直线，垂直于平面，则“⊥”是“”的条件解析垂直于平面，当⊂时，也满足⊥，但直线与平面时，平面⊥平面只要填写个你认为是正确的条件即可解析由定理可知，⊥当⊥或⊥，即有⊥平面而⊂平面，平面