1、得的方程而过，的交点故，由此求出，故的方程为方法三由于过，的交点，故是直线系中的条，将其整理，得，即思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交方法二由于⊥，故是直线系中的条，垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交解方法先解方程组得，的交点坐标为再由的斜率求出的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交可先求出与的交点，再用点斜式也可利用直线系方程求解思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交可先求出与的交点，再用点斜式也可利用直线系方程求解思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交解方法先解方程组得，的交点坐标为再由的斜率求出的斜率为，于是由直线的点斜。
2、可见，过，垂直于轴的直线满足条件此时的斜率不存在，其方程为若斜率存在，设的方程为，即由已知，得，解之得此时的方程为综上，可得直线的方程为或求过点且与原点距离最大的直线的方程，并求出最大距离解作图可证过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，由⊥，得所以由直线方程的点斜式得，求过点且与原点距离最大的直线的方程，并求出最大距离即，最大距离为即直线是过点且与原点距离最大的直线，是否存在过点且与原点距离为的直线若存在，求出方程若不存在，请说明理由解由可知，过点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点且与原点距离为的直线例已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标思维点拨解析思维升华题型四对称问题例已知直线，点，求直线的方程依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒典例求经过且与直线垂直的直线的方程解因为所求。
3、则光线所经过的路程的长为答案与直线和直线等距离的直线方程是解析化为，设与，等距离的直线的方程为，所以与平行，则，解得，所以的方程为已知点若直线与线段相交包含端点的情况，则实数的取值范围是解析直线可化为，所以直线恒过定点，点直线与线段相交包含端点的情况，或，或经验证也符合题意实数的取值范围是，，答案，，将张坐标纸折叠次，使得点,与点,重合，点,与点，重合，则解析由题意可知纸的折痕应是点,与点,连线的中垂线，即直线，它也是点,与点，连线的中垂线，于是解得故答案若直线过点，与已知直线相交于点，且，求直线的方程解过点，与轴平行的直线为解方程组求得点坐标为此时，即为所求设过，且与轴不平行的直线为，解方程组，，得两直线交点为，，否则与已知直线平行则点坐标为。
4、方法二设直线的方程为，即思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程又⊥解得直线的方程为思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程本题方法采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在轴上，故采用斜截式求解方法二则采用了过两直线与思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程的交点的直线系方程，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒方法与技巧两直线的位置关系要考虑平行垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线，⇔⊥⇔若有条直线的斜率不存在，那么另条直线的斜率定要特别注意对称问题般是将线与线的对称转化为点与点的对称。
5、离公式的应用正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线行的边所在直线的方程是设与垂直的边所在直线的方程是，则点到直线的距离，解得或，所以与垂直的两边所在直线的方程分别是的距离，解得舍去或，思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用所以与平在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用解点到直线的距离设与平行的边所在直线的方程是，则点到直线离公式的应用例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用中心到各边的距离相等思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所，求其方程解得所求直线方程为例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程思维点拨解析思维升华题型三距，即又直线过跟踪训练如图，设直线过点。
6、线与直线垂直，所以设该直线方程为，又直线过点所以有，解得，即所求直线方程为思维点拨规范解答温馨提醒典例求经过且与直线垂直的直线的方程与直线垂直的直线系方程为，再由其他条件求出思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程可分别求出直线与的交点及直线的斜率，直接写出方程也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程解方法解方程组得,因为的斜率为，且⊥，所以直线的斜率为，思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程由斜截式可知的方程为，即。
7、方程求出，即思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交方法二由于⊥，故是直线系中的条，而过，的交点故，由此求出，故的方程为方法三由于过，的交点，故是直线系中的条，将其整理，得思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交其斜率为，解得，代入直线系方程得的方程为思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点常见的三大直线系方程思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交与直线平行的直线系方程是且与直线垂直的直线系方程是思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两。
8、直线相交过直线与的交点的直线系方程为，但不包括思维点拨解析思维升华跟踪训练如图，设直线过点它被两平行直线，所截的线段的中点在直线上，求其方程解与平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为，即又直线过跟踪训练如图，设直线过点它被两平行直线，所截的线段的中点在直线上，求其方程解得所求直线方程为例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程思维点拨解析思维升华题型三距离公式的应用例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用中心到各边的距离相等思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用解点到直线的距离设与平行的边所在直线的方程是，则点到直线的距离，解得舍去或，思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其。
9、方程为，再由其他条件求出思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程可分别求出直线与的交点及直线的斜率，直接写出方程也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程解方法解方程组得,因为的斜率为，且⊥，所以直线的斜率为，思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程由斜截式可知的方程为，即方法二设直线的方程为，即思维点拨规范解答温馨提醒三过直线和思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距。
10、被两平行直线，所截的线段的中点在直线上析思维升华跟踪训练如图，设直线过点它被两平行直线，所截的线段的中点在直线上，求其方程解与平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交过直线与的交点的直线系方程为，但不包括思维点拨解平行的直线系方程是且与直线垂直的直线系方程是思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点常见的三大直线系方程思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交与直线为思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交其斜率为，解得，代入直线系方。
11、用坐标转移法失误与防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑在运用两平行直线间的距离公式时，定要注意将两方程中，的系数化为相同的形式已知两条直线，且⊥，则解析由⊥，可得，从点,射出的光线沿与向量,平行的直线射到轴上，则反射光线所在的直线方程为解析由直线与向量,平行知过点,的直线的斜率，所以直线的方程为，其与轴的交点坐标为又点,关于轴的对称点为所以反射光线过点,与由两点式得所求方程为答案教材改编若,两点到直线的距离相等，则解析依题意解得或或已知直线与直线平行，则它们之间的距离是解析直线可化为，两平行线之间的距离如图，已知，从点，射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是解析由题意知点关于直线的对称点为关于轴的对称点。
12、三边所在直线的方程题型三距离公式的应用所以与平行的边所在直线的方程是设与垂直的边所在直线的方程是，则点到直线的距离，解得或，所以与垂直的两边所在直线的方程分别是和思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为般式运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中，的系数化为相同的形式思维点拨解析思维升华跟踪训练已知点，求过点且与原点距离为的直线的方程解过点的直线与原点距离为，而点坐标。
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