1、其结果必须用集合或区间表示栏目链接例求函数的定义域错解因为，所以，解得或所以函数的定义域为或点拨错误的原为如果ƒ由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况求函数的定义域，般是转化为解不等式或不等式组的问题，注当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零分式中分母不能为零次幂的底数不为当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零分式中分母不能为零次幂的底数不为如果ƒ由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合如果函数有。

2、为，栏目链接求函数的值域解析由已知得，若，则，若，又故函数的值域为，题型四函数的图像栏目链接例作下列函数的图象，，栏目链接题型四函数的图象分析画函数图象时，以定义域对应法则为依据，采用列表描点作图解析这个函数的图象由些点组成，这些点都在直线上，由于，从而，这些点称为整点见图，这个函数的图象是抛物线介于之间的段弧见图栏目链接所给函数可写成函数，是端点为，的两条射线称为“羊角”见图这个函数的图象由两部分组成，当时，为的部分，当时，为的段见图点评作函数图象要点在定义域内作图图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象宜标出些关键点例如，图象的顶点端点与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心点栏目链接►变式训练设，则二次函数的图象可能是解析若⇒，与，则开口向上，项中，与。

3、，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况求函数的定义域，般是转化为解不等式或不等式组的问题，注因是误认为与是同函数求函数定义域要根据原始的式子正解要使函数有意义，则需满足即所以所以函数的定义域为栏目链原来的函数就是不同的函数，所以在求定义域时，般不将解析式变形栏目链接►变式训练求下列函数的定义域栏目链接解析要使函数有意义由得，即⇒函数的定义域为题型三函数的值域栏目链接例求下列函数的值域函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可以用配方法解决，有型三函数的值域栏目是，故函数的最大值是，且函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可以用配方时方程有非的实根，故，即，但又当时故所求值域为全体实数原函数可化为栏目链接由于故函数值域为，，小题采用换元法。

4、，或，定义域不相同，不是同函数是同函数因为定义域和对应法则相同题型二函数的定义域栏目链接例求下列函数的定义域栏目链接分析对于用解析式表示的函数，如果没有给出函数的定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的取值集合解析⇒⇒或且故所求定义域为，，，栏目链接，且故所求定义域为，，点评当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零分式中分母不能为零次幂的底数不为如果ƒ由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况求函数的定义域，般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是个集合，其结果必须用集。

5、值范围，如在本例中，要确定的取值范围如忽视了这点，就会造成错误第小题采用判别式法，所谓判别式法就是利用元二次方程根的判别式求点评求函数的值域是函数的重要内容第小题采用配方法，对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方的方法来求值域栏目链接第时方程有非的实根，故，即，但又当时故所求值域为全体实数原函数可化为栏目链接由于故函数值域为，，法解决，有，栏目链接原函数的值域为当，即且时，函数的解析式可化成当是，故函数的最大值是，且函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可以用配方链接例求下列函数的值域，且栏目链接解析，显然，的最大值函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可。

6、矛盾只有项可能函数的概念和图像函数的概念定义域值域和图像题型判断两个函数是否为同函数栏目链接例题已知四组函数，，，，其中表示同函数的组别没有仅有仅有仅有栏目链接分析检查定义域和对应法则是否完全相同解析在中的定义域为，的定义域为在中两函数的对应法则不同故中的两个函数不是相同的函数因为，且两函数的定义域均为，故中的两函数表示同函数在中，虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应法则都相同，所以表示同函数故选答案栏目链接点评函数概念含有三个要素，即定义域值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同函数栏目链接►变式训练试判断以下各组函数是否表示同函数，，栏目链接解析，而，定义域为，故不是同函数定义域不相同，不是同函。

7、际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况求函数的定义域，般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是个集合，其结果必须用集合或区间表示栏目链接例求函数的定义域错解因为，所以，解得或所以函数的定义域为或点拨错误的原因是误认为与是同函数求函数定义域要根据原始的式子正解要使函数有意义，则需满足即所以所以函数的定义域为栏目链接点评求函数的定义域，般转化为解不等式或不等式组的问题，但要注意逻辑联结词的运用由函数的解析式有意义求定义域时，不能随意对解析式进行变形因为变形后自变量的允许值扩大或缩小，这样得到的函数与原来的函数就是不同的函数，所以在求定义域时，般不将解析式变形栏目链接►变式训练求下列函数的定义域栏目链接解析要使函数有意义，自变量的取值必须满足即，所以函数的定义域。

8、为，且要使函数有意义，必须满足，即函数的定义域为由得，即⇒函数的定义域为题型三函数的值域栏目链接例求下列函数的值域，且栏目链接解析，显然，的最大值是，故函数的最大值是，且函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可以用配方法解决，有型三函数的值域栏目链接例求下列函数的值域，且栏目链接解析，显然，的最大值是，故函数的最大值是，且函数的值域是，令，则，，这样就把问题转化为求，，的值域问题了可以用配方法解决，有，栏目链接原函数的值域为当，即且时，函数的解析式可化成当时方程有非的实根，故，即，但又当时故所求值域为全体实数原函数可化为栏目链接由于故函数值域为，，点评求函数的值域是函数的重要内容第小题采用配方法，对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，。

9、，栏目链接解析，而，定义域为，故不是同函数定义域不相同，不是同函数，或，定义域不相同，不是同函数是同函数因为定义域和对应法则相同题型二函数的定义域栏目链接例求下列函数的定义域栏目链接分析对于用解析式表示的函数，如果没有给出函数的定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的取值集合解析⇒⇒或且故所求定义域为，，，栏目链接，且故所求定义域为，，点评当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义函数值域的方法在使用判别式法求值域时对转化得到的整式方程，当二次项系数是含有字母的系数时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式当原函数的定义域不小题采用换元法，在利用换元法求函数值域时，定要注意确定辅助元的取。

10、用配方法解决，有型三函数的值域栏目，且栏目链接解析，显然，的最大值是，故函数的最大值是，且由得，即⇒函数的定义域为题型三函数的值域栏目链接例求下列函数的值域，自变量的取值必须满足即，所以函数的定义域为，且要使函数有意义，必须满足，即函数的定义域为原来的函数就是不同的函数，所以在求定义域时，般不将解析式变形栏目链接►变式训练求下列函数的定义域栏目链接解析要使函数有意义接点评求函数的定义域，般转化为解不等式或不等式组的问题，但要注意逻辑联结词的运用由函数的解析式有意义求定义域时，不能随意对解析式进行变形因为变形后自变量的允许值扩大或缩小，这样得到的函数与因是误认为与是同函数求函数定义域要根据原始的式子正解要使函数有意义，则需满足即所以所以函数的定义域为栏目链意定义域是个集合，。

11、合或区间表示栏目链接例求函数的定义域错解因为，所以，解得或所以函数的定义域为或点拨错误的原因是误认为与是同函数求函数定义域要根据原始的式子正解要使函数有意义，则需满足即所以所以函数的定义域为栏目链接点评求函数的定义域，般转化为解不等式或不等式组的问题，但要注意逻辑联结词的运用由函数的解析式有意义求定义域时，不能随意对解析式进行变形因为变形后自变量的允许值扩大或缩小，这样得到的函数与原来的函数就是不同的函数，所以在求定义域时，般不将解析式变形栏目链接►变式训练求下列函数的定义域栏目链接解析要使函数有意义，自变量的取值必须满足即，所以函数的定义域为，且要使函数有意义，必须满足，即函数的定义域为为如果ƒ由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合如果函数有实际背。

12、用配方的方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方的方法来求值域栏目链接第小题采用换元法，在利用换元法求函数值域时，定要注意确定辅助元的取值范围，如在本例中，要确定的取值范围如忽视了这点，就会造成错误第小题采用判别式法，所谓判别式法就是利用元二次方程根的判别式求函数值域的方法在使用判别式法求值域时对转化得到的整式方程，当二次项系数是含有字母的系数时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式当原函数的定义域不是时，求得值域后必须对定义域的端点值进行验证第小题采用反解法栏目链接►变式训练函数的值域是，，解析，即，栏目链接陕西卷设表示不超过的最大整数，则对任意实数，有解析设，则，可知，不成立取，也不成立，故只有成立栏目链接求函数的值域解析设，则，且，于是，即故函数的值。

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