量，平行，可设，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得方法二因为，所，，答案规律方法将要求夹角的两个向量用坐标表示，然后代入向量的夹角公式计算栏目链接►变式训练已知空间三点系，设正方体棱长为，则，，，，，栏目链接量的夹角问题栏目链接例在正方体中，分别为的中点，则，解析以为原点分别为轴轴轴建立直角坐标，解得因为⊥，所以，即而，所以，解得题型三空间向，解得方法二因为，所以，即因为与不共线，所以有因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设，建立关轴建立直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，栏目链接相垂直时，实数的得题型三空间向量的夹角问题栏目链接例在正方体中，分别为的中点，则，解析以为原点分别为轴轴解得因为⊥，所以，即而，所以，解，所以，解得方法二因为，所以，即因为与不共线，所以有的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求相垂直时，实数的值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设或栏目链接由题意知，或，即与互向量若与互相垂直，求实数的值解析，向量若与互相垂直，求实数的值解析，或栏目链接由题意知，或，即与互相垂直时，实数的值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得方法二因为，所以，即因为与不共线，所以有解得因为⊥，所以，即而，所以，解得题型三空间向量的夹角问题栏目链接例在正方体中，分别为的中点，则，解析以为原点分别为轴轴轴建立直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，栏目链接相垂直时，实数的值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得方法二因为，所以，即因为与不共线，所以有解得因为⊥，所以，即而，所以，解得题型三空间向量的夹角问题栏目链接例在正方体中，分别为的中点，则，解析以为原点分别为轴轴轴建立直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，栏目链接，答案规律方法将要求夹角的两个向量用坐标表示，然后代入向量的夹角公式计算栏目链接►变式训练已知空间三点，则与的夹角的大小是解析又，所以，所以答案栏目链接析疑难提能力栏目链接由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制条件而致误典例已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围为解析由已知得因为与的夹角为钝角，所以且由，得，所以若与的夹角为，则存在，使，栏目链接即，所以，解得所以的取值范围是，，答案，，易错剖析本题的解答容易忽视以下事实包含与夹角为的情况，即与的夹角为钝角不等价于空间向量运算的坐标表示栏目链接掌握空间向量的坐标运算会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式栏目链接研题型学习法题型空间向量的坐标运算栏目链接例已知为坐标原点，三点的坐标分别是求点的坐标，使解析，，则点的坐标为设为，则因为，栏目链接所以，即，所以点坐标为规律方法个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算先算括号里，后算括号外空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本样，应注意些计算公式的应用栏目链接►变式训练已知求解析题型二空间向量平行与垂直条件的应用栏目链接例已知空间中三点，设，若，且，求向量若与互相垂直，求实数的值解析，或栏目链接由题意知，或，即与互相垂直时，实数的值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得方法二因为，所或栏目链接由题意知，或，即与互，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求，所以，解得方法二因为，所以，即因为与不共线，所以有得题型三空间向量的夹角问题栏目链接例在正方体中，分别为的中点，则，解析以为原点分别为轴轴值为或规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型，平行与垂直的判断利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意适当引入参数比如向量，平行，可设，建立关因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得因为⊥，所以，即而，所以，解得题型三空间向系，设正方体棱长为，则，，，，，栏目链接量，平行，可设，建立关于参数的方程最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的栏目链接►变式训练设，若，求的值若⊥，求的值解析方法因为，所以，解得栏目链接因为⊥，所以，解得方法二因为，所