置关系的判断栏目链接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，或或规律方法求直线被抛物线截得的弦长，般用弦长公式求解栏目链接►变式训练过点，作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦的长为线的方程解析设抛物线的方程为，则消去得，则线有公共点当时，应有，即，解得且综上，斜率的取值范围是，故选答案题型三弦长问题栏目链接例已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物解析设直线方程为，与抛物线方程联立，得消去得到关于的方程当时，上述方程有解，所以直线与抛物的位置关系类似，般转化为研究其直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数栏目链接►变式训练设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有个公共点当，且时，与有两个公共点当时，与没有公共点规律方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元抛物线方程联立，得消去得到关于的方程当时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点当时，应有，即，解得且和的方程联立得目链接►变式训练设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是解析设直线方程为，与个公共点当，且时，与有两个公共点当时，与没有公共点规律方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，般转化为研究其直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数栏与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时消去整理得，所以，又点是的中点，所以，所以，故直线的方程为，即题型二直线与抛物线位置关系的判断栏目链，所以所求直线的方程为，，即方法二显然不垂直于轴，故可设弦所在的直线方程为，，设，联立方程点为所以所求抛物线方程为方法设则且栏目链接由得，所以点为所以所求抛物线方程为方法设则且栏目链接由得，所以，所以所求直线的方程为，，即方法二显然不垂直于轴，故可设弦所在的直线方程为，，设，联立方程消去整理得，所以，又点是的中点，所以，所以，故直线的方程为，即题型二直线与抛物线位置关系的判断栏目链接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有个公共点当，且时，与有两个公共点当时，与没有公共点规律方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，般转化为研究其直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数栏目链接►变式训练设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是解析设直线方程为，与抛物线方程联立，得消去得到关于的方程当时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点当时，应有，即，解得且和的方程联立得消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有个公共点当，且时，与有两个公共点当时，与没有公共点规律方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，般转化为研究其直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数栏目链接►变式训练设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是解析设直线方程为，与抛物线方程联立，得消去得到关于的方程当时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点当时，应有，即，解得且综上，斜率的取值范围是，故选答案题型三弦长问题栏目链接例已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程解析设抛物线的方程为，则消去得，则，或或规律方法求直线被抛物线截得的弦长，般用弦长公式求解栏目链接►变式训练过点，作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦的长为解析设，由题意知的方程，即由得，所以所以答案栏目链接析疑难提能力栏目链接求直线与抛物线的位置关系时，因对问题的考虑不周而出错典例求过点，且与抛物线有且只有个公共点的直线方程解析若直线斜率不存在，则过点，的直线方程为，由得即直线与抛物线有且只有个公共点，若直线斜率存在，则设过点的直线方程为，由消去，化简整理，得，栏目链接当时，解得即直线与抛物线有且只有个公共点当时，由，解得，即直线与抛物线有且只有个公共点综上所述，所求直线方程为或或易错剖析易忽略直线斜率不存在在得出方程后，不能够分和两种情况讨论直线与抛物线的位置关系栏目链接了解抛物线的简单应用理解数形结合的思想会处理简单的直线与抛物线关系问题栏目链接研题型学习法题型中点弦问题栏目链接例已知抛物线，过点，引条弦使它恰好被点平分，求这条弦所在的直线方程及的值解析方法设直线上任意点坐标为弦两端点在抛物线上两式相减，得直线的方程为即由得栏目链接方法二由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为由，得设弦的两端点的中点为所求直线方程为，即栏目链接规律方法处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方法，有时直线与抛物线方程联立时消更简便些此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解般地，已知抛物线上两点，及的中点则，直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为栏目链接►变式训练已知，为抛物线上不同的两点，若抛物线的焦点为线段恰被，所平分求抛物线的方程求直线的方程解析由于抛物线的焦点为所以所求抛物线方程为方法设则且栏目链接由得，所以，所以所求直线的方程为，，即方法二显然不垂直于轴，故可设弦所在的直线方程为，，设，联立方程消去整理得，所以，又点是的中点，所以，所以，故直线的方程为，即题型二直线与抛物线位置关系的判断栏目链接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，所以所求直线的方程为，，即方法二显然不垂直于轴，故可设弦所在的直线方程为，，设，联立方程接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时，与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有目链接►变式训练设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是解析设直线方程为，与消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元与没有公共点，此时称直线与相离综上所述，当或时，与有个公共点当，且时，与有两个公共点当时，与没有公共点规律方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线解析设直线方程为，与抛物线方程联立，得消去得到关于的方程当时，上述方程有解，所以直线与抛物线的方程解析设抛物线的方程为，则消去得，则置关系的判断栏目链接例直线，抛物线，当为何值时，与有个公共点，两个公共点，没有公共点解析将和的方程联立得消去，得当时，方程只有个解，直线与只有个公共点此时直线平行于轴当时，方程是个元二次方程，栏目链接当，即，且时，与有两个公共点，此时称直线与相交当，即时，与有个公共点，此时称直线与相切当，即时