Ⅱ￡，工。析以及其他方法来研究离散群。在世纪初，等人就已经把些拓扑和几何的想法带入到对离散群的研究㈦。对于奠定几何群论的基础，小消去理论和理论也二面体的边的群研究二十面体对称群时，就有过这方面的研究。如今，组合群论已经在很大程度上融合在几何群论中。而且，“几何群论”这个术语，通常包含很多传统的组合群论体系外的东西，如利用概率测度论算数分群的性质。该领域最初由的学生ⅥⅥ在世纪年代初期开始了系统研究。而在这之前，年，瑚的微积分中，在通过十，是比较新的，它于世纪年代末到年代初才成为个独立的数学分支。不过在这之前就己经有了相当的理论基础。几何群论产生自组合群论，后者主要通过分析群表示，也就是通过把群用自由群的商群表示出来的方式来研究离散率论等数学方向密切相关。几何群论的另个重要的思想是把有限生成群本身看作几何对象。这也就有了对群的图的研究，也就是在般的图的基础上，赋予它个度量，即单词度量。几何群论作为个独立的领域索有限生成群的代数性质以及该群作用空间的拓扑与几何性质来研究这类群的数学分支。它与低维拓扑双曲几何代数拓扑微分几何等分支有着紧密而错综复杂的联系，同时又与数学逻辑李群及其离散子群动力系统概致谢附录攻读学位期间所发表的学术论文目录万方数据硕士学位论文第章绪论几何群论的研究背景及发展现状几何群论是专门通过探相互控制视觉度量对度量下界的控制视觉度量对度量上界的控制结论参考文献测地线与原始度量下测地线的关系第章离散化在恰当的测地空间上的目网与网上的图网上的图的性质，第章定条件下两种度量之问的般度量空间中度量及其边界的定义第章边界的相关性质定条件下，存在站到贾的映射在恰当的测地空间中识双曲空问双曲空间上的视觉度量群的图中度量及其边界的介绍，几何群论的研究背景及发展现状边界的研究背景与发展现状本文的研究内容第章预备知万方数据硕士学位论文目录学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书摘要第章绪论口矗七，甘，甘，七，矗口万方数据硕士学位论文目录学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书摘要第章绪论，几何群论的研究背景及发展现状边界的研究背景与发展现状本文的研究内容第章预备知识双曲空问双曲空间上的视觉度量群的图中度量及其边界的介绍般度量空间中度量及其边界的定义第章边界的相关性质定条件下，存在站到贾的映射在恰当的测地空间中测地线与原始度量下测地线的关系第章离散化在恰当的测地空间上的目网与网上的图网上的图的性质，第章定条件下两种度量之问的相互控制视觉度量对度量下界的控制视觉度量对度量上界的控制结论参考文献致谢附录攻读学位期间所发表的学术论文目录万方数据硕士学位论文第章绪论几何群论的研究背景及发展现状几何群论是专门通过探索有限生成群的代数性质以及该群作用空间的拓扑与几何性质来研究这类群的数学分支。它与低维拓扑双曲几何代数拓扑微分几何等分支有着紧密而错综复杂的联系，同时又与数学逻辑李群及其离散子群动力系统概率论等数学方向密切相关。几何群论的另个重要的思想是把有限生成群本身看作几何对象。这也就有了对群的图的研究，也就是在般的图的基础上，赋予它个度量，即单词度量。几何群论作为个独立的领域，是比较新的，它于世纪年代末到年代初才成为个独立的数学分支。不过在这之前就己经有了相当的理论基础。几何群论产生自组合群论，后者主要通过分析群表示，也就是通过把群用自由群的商群表示出来的方式来研究离散群的性质。该领域最初由的学生ⅥⅥ在世纪年代初期开始了系统研究。而在这之前，年，瑚的微积分中，在通过十二面体的边的群研究二十面体对称群时，就有过这方面的研究。如今，组合群论已经在很大程度上融合在几何群论中。而且，“几何群论”这个术语，通常包含很多传统的组合群论体系外的东西，如利用概率测度论算数分析以及其他方法来研究离散群。在世纪初，等人就已经把些拓扑和几何的想法带入到对离散群的研究㈦。对于奠定几何群论的基础，小消去理论和理论也是非常重要的。前者于世纪年代由正式引入，并由与纠进步发展。该理论通过组合曲率条件来研究有限群表示的龇图，并从这种分析中诱导出群的代数与算数性质。后者于年在的书中被介绍，它通过研究群在单纯树上作用得到群结构的代数性质。此外，些其他方面的研究对于几何群论的产生也起到了很大作用，并提供了些有益的思路和启示，例如对李群中格的研究，特别是刚性定理群的研究以及世纪年代到年代初由几何化课题中产生的对低维拓扑主要是维流形理论与双曲几何的研究事实上，在世纪年代末，在，子堋的工作中人们已经发现了这两个学科之间有着错综复杂的关系。年，的著作直接推动了几何群论的产生与发展。在该书中作者引入了双曲群的概念也通常被称为单词双曲或双曲万方数据双曲空间上类度量与视觉度量的双等价性或者负曲率群，并充分利用了有限生成群有广义的负曲率这思路。在之后的著作矗。中，描述了他对于离散群的拟等距作用的理解。的工作对于离散群的研究有着巨大而深远的意义，并且“几何群论”这个术语也于不久后出现。对于有限生成群的分类，的研究有广泛而深远的影响，他根据群单词度量的拟等距把有限生成群进行分类。其研究内容包括了拟等距意义下的不变性质。对有限生成群，这样的性质有增长速率函数群的端点数目双曲性边界的同胚类型蠲真实的阿贝尔性质真实的幂零性可有限表示等。同时，还得出了利用拟等距不变量来证明的关于群的代数性质的定理，如多项式增长定理端点定理等。此外的工作还包括拟等距刚性定理，该定理可以把所有拟等距于特定群或者度量空间Ⅳ盯丁，!!万方数据双曲空间上类度量与视觉度量的双等价性，缸缸王膏王王五，套萏Ⅱ￡，工。乞卜矗矗万方数据硕士学位论文，印，缸，证，幻垂辱，乱七””，张恭庆，林源渠泛函分析讲义上册北京北京大学出版社，右卜