例题解析例年广州市如图，是半径为的内的点，且，过点且长小于的弦有条条条条解析这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于的弦长即过点最短的弦长为，故没有弦长小于的弦，选例如图,地有圆弧形拱桥,桥下水面宽为米,拱顶高出水面米现有艘宽米船舱顶部为长方形并高出水面米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗典型例题解析相信自己能完成解答解如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直要根据题意画出图形，如图，利用已知条件来探求结论是否成立，此题很容易探求出证明同圆中的有关定理垂径定理└提示垂径定理是，若再能得到即可由这是道探索性问题，首先交的延长线于，切于求证图若与的交点在外，上述结论是否成立，请证明你的猜想解析要证两线段相等，方法很多但这题应该用等积式证，很明显是等边三角形，典型例题解析例如图，已知的弦交于圆内的点，过作是的内接三角形，是切线，交于，交于，且，，求的长解是切线由∶∶∶∶可设，则则由典型例题解析典型例题解析例如图，的长解析涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么则则由即解得在中，由勾股定理，得,定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到由∶∶∶∶可设，例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求的长解析涉及圆中有关切割线，相交弦切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求的长解析涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到由∶∶∶∶可设，则则由即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求的长解析涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到由∶∶∶∶可设，则则由典型例题解析典型例题解析例如图，是的内接三角形，是切线，交于，交于，且，，求的长解是切线是等边三角形，典型例题解析例如图，已知的弦交于圆内的点，过作交的延长线于，切于求证图若与的交点在外，上述结论是否成立，请证明你的猜想解析要证两线段相等，方法很多但这题应该用等积式证，很明显，若再能得到即可由这是道探索性问题，首先要根据题意画出图形，如图，利用已知条件来探求结论是否成立，此题很容易探求出证明同圆中的有关定理垂径定理└提示垂径定理是圆中个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧如图是直径,⊥⌒⌒,⌒⌒垂径定理的逆定理平分弦的直径垂直于这条弦典型例题解析例在直径为的圆柱形油槽内，装入部分油，油面宽，求油的深度解析本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图和图中图中典型例题解析例年广州市如图，是半径为的内的点，且，过点且长小于的弦有条条条条解析这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于的弦长即过点最短的弦长为，故没有弦长小于的弦，选例如图,地有圆弧形拱桥,桥下水面宽为米,拱顶高出水面米现有艘宽米船舱顶部为长方形并高出水面米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗典型例题解析相信自己能完成解答解如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求的长解析涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到由∶∶∶∶可设，则则由在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱切割线定理定理从圆外点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如与是割线，得到，与是中两条互相垂直的弦得到由∶∶∶∶可设，即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么到圆所作切线长的平方例已知如图，是的直径，弦⊥，垂足为，为延长线上的点，连结，交于，如果且∶∶∶∶，求由∶∶∶∶可设，则则由典型例题解析典型例题解析例如图是等边三角形，典型例题解析例如图，已知的弦交于圆内的点，过作，若再能得到即可由这是道探索性问题，首先例题解析例年广州市如图，是半径为的内的点，且，过点且长小于的弦有条条条条解析这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于的弦长即过点最短的弦长为，故没有弦长小于的弦，选例如图,地有圆弧形拱桥,桥下水面宽为米,拱顶高出水面米现有艘宽米船舱顶部为长方形并高出水面米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗典型例题解析相信自己能完成解答解如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为,半径为,经过圆心作弦的垂线,为垂足,与相交于点根据垂径定理,是的中点,是的中点,就是拱高由题设得,在中，由勾股定理，得,即解得在中，由勾股定理，得,即此货船能顺利通过这座拱桥相交弦定理和切割弦定理相交弦定理及其推论定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直