的图象如图所示，根据图象解答下列问题图写出方程的两个根写出不等式的解集写出随的增大而减小的自变量的取值范围若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围解方程的根即抛物线与轴交点的横坐标，观察图象得方程的两根为，不等式的解集即抛物线位于轴上方的那段的的范围，观察图象得不等式的解集为抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为，结合图象得对称轴右边随的增大而减小，所以方程的解为抛物线与直线的交点，所以当时，抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根的的取值范围是第二节元二次不等式及其解法考纲要求会从实际情境中抽象出元二次不等式模型通过函数图象了解元二次不等式与相应的二次函数元二次方程的关系会解元二次不等式，对给定的元二次所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内思路点拨依据“年利润出厂价投入成本年销售量”写出与的关系式年利润有所增加，即，解此不等式即可得的范围解，则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润出厂价投入成本年销售量写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式为使本年度的年利润比上年度有不等式的实际应用典例剖析例汽车厂上年度生产汽车的投入成本为万元辆，出厂价为万元辆，年销售量为辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为立，即恒成立即当时，恒成立令因为在，上单调递减，所以，故考向三元二次就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数对点练习已知函数，若对任意，，恒成立，试求实数的取值范围解因为，，所以恒成恒成立的充要条件是且利用恒成立求参数范围的常用方法单调性法分离参数法解决恒成立问题定要清楚选谁为主元，谁是参数般地，知道谁的范围故当或时，对任意的函数的值恒大于答案，或元二次不等式恒成立的条件恒成立的充要条件是且，令由题意知在，上，的值恒大于，，或解解析当，即时，不等式为，恒成立当时，要使原不等式恒成立，只需，，解得综上，实数的取值范围是，由取值范围是对任意函数的值恒大于，则的取值范围是思路点拨分和两种情况讨论转化为关于的次函数求当时，解集为∅当时，解集为考向二元二次不等式恒成立问题典例剖析例已知不等式恒成立，则实数的当时解得综上所述当时，解集为或当时，解集为当时，解集为，解得或若，原不等式等价于当时无解当时解得结合图象得，的解集为答案若，原不等式等价于，解得若，则原不等式等价于，所以方程有两个不相等的实根，又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为令，则，的解集为不等式的解集为，则不等式的解集为解不等式解析因为式或二次项系数为正的形式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与的关系确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式对点练习不等式式或二次项系数为正的形式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与的关系确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式对点练习不等式的解集为不等式的解集为，则不等式的解集为解不等式解析因为，所以方程有两个不相等的实根，又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为令，则，结合图象得，的解集为答案若，原不等式等价于，解得若，则原不等式等价于，解得或若，原不等式等价于当时无解当时解得当时解得综上所述当时，解集为或当时，解集为当时，解集为当时，解集为∅当时，解集为考向二元二次不等式恒成立问题典例剖析例已知不等式恒成立，则实数的取值范围是对任意函数的值恒大于，则的取值范围是思路点拨分和两种情况讨论转化为关于的次函数求解解析当，即时，不等式为，恒成立当时，要使原不等式恒成立，只需，，解得综上，实数的取值范围是，由，令由题意知在，上，的值恒大于，，或，故当或时，对任意的函数的值恒大于答案，或元二次不等式恒成立的条件恒成立的充要条件是且恒成立的充要条件是且利用恒成立求参数范围的常用方法单调性法分离参数法解决恒成立问题定要清楚选谁为主元，谁是参数般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数对点练习已知函数，若对任意，，恒成立，试求实数的取值范围解因为，，所以恒成立，即恒成立即当时，恒成立令因为在，上单调递减，所以，故考向三元二次不等式的实际应用典例剖析例汽车厂上年度生产汽车的投入成本为万元辆，出厂价为万元辆，年销售量为辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润出厂价投入成本年销售量写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内思路点拨依据“年利润出厂价投入成本年销售量”写出与的关系式年利润有所增加，即，解此不等式即可得的范围解由题意得整理得，要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有即所以投入成本增加的比例应在，范围内不等式应用题常以函数数列为背景出现，多是解决现实生活生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键对点练习商家月份至五月份累计销售额达万元，预测六月份销售额为万元，七月份销售额比六月份递增，八月份销售额比七月份递增，九十月份销售总额与七八月份销售总额相等，若月份至十月份销原不等式等价于或原不等式的解集为，答案补上课四“三个二次”问题浅议三个“二次”即元二次函数元二次方程元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具，高考试题中近半的试题与这三个“三次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数方程及不等式的思想和方法二次函数与元二次方程例已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的图根的情况是无实数根有两个相等实数根有两个异号实数根有两个同号不等实数根思路点拨本题以图象的形式给出信息，要判断关于的方程的根的情况，只要判断抛物线与直线的交点横坐标的情况即可解析因为可化为，即，所以方程的根即为抛物线与直线的交点横坐标，作直线，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为答案名师点津本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标二次函数与元二次不等式例解不等式思路点拨结合二次函数的图象解答解令，易知该方程的两根为，作出函数图象，如图由图象知不等式的解集是，或点评利用元二次函数图象解元二次不等式，其方法步骤是先求出和相应方程的解再画出函数图象，根据图象写出不等式的解集，若时，先变形元二次不等式与元二次方程例已知不等式的解集为或，求不等式的解集思路点拨利用元二次方程的根与系数的关系解答解由不等式的解集为或可知，且方程的两根分别为和，即，由于，所以不等式可变为，即，整理得，所以，不等式的解集为或点评本题考查了根与系数的关系及元二次不等式的解法，尤其注意二次项系数的正负与解集的关系专题集训若不等式无解，则的取值范围是或或解析原不等式无解等价于判别式小于或等于，即，答案已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的元二次方程的解为图解析因为二次方程的根为二次函数的图象与轴交点的横坐标根据已知条件，可知抛物线的对称轴为直线根据图象可知抛物线与轴的个交点的横坐标为，所以利用抛物线的对称性知抛物线与轴的另个交点横坐标为，因此方程的解为和答案和二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题图写出方程的两个根写出不等式的解集写出随的增大而减小的自变量的取值范围若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围解方程的根即抛物线与轴交点的横坐标，观察图象得方程的两根为，不等式的解集即抛物线位于轴上方的那段的的范围，观察图象得不等式的解集为抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为，结合图象得对称轴右边随的增大而减小，所以方程的解为抛物线与直线的交点，所以当时，抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根的的取值范围是第二节元二次不等式及其解法考纲要求会从实际情境中抽象出元二次不等式模型通过函数图象了解元二次不等式与相应的二次函数元二次方程的关系会解元二次不等式，对给定的元二次不等式，会设计求解的程序框图基础真题体验考查角度元二次不等式的解法重庆高考关于的不等式的解集为且，则解析由得，即，故原不等式的解集为，由得，即，所以故选答案广东高考不等式的解集为解析求出不等式对应的方程的根，利用二次函数的图象或元二次不等式的解法写出不等式的解集方程的根为故不等式的解集为，答案，考查角度元二次不等式恒成立问题课标全国卷Ⅱ设函数若存在的极值点满足，则的取值范围是，，，，，，，，解析的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的性质可知，假设不存在这样的，即对任意的都有，则，整理得，即恒成立，因为的最小值为当或时取得，故，因此原特称命题成立的条件是或答案命题规律预测命题规律从近几年的高考试题看，元二次不等式的解法，元二次不等式恒成立问题及三个“二次”间的关系问题是高考的热点，题型以选择题填空题为主，难度中低档考向预测预测年高考仍以元二次不等式的解法，三个“二次”之间的关系为命题热点，综合函数导数知识，考查不等式中参数的范围问题考向元二次不等式的解法典例剖析例已知不等式的解集为或求，的值解不等式思路点拨先化简不等式为标准形式，再依据解集确定的符号，然后利用根与系数的关系列出，的方程组，求，的值所给不等式含有参数，因此需对讨论写出解集解因为不等式的解集为或，所以与是方程的两个实数根，且由根与系数的关系，得，解得，不等式，即，即当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为∅所以，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为∅解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判计算对应方程的判别式求求出对应的元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集解含参数的元二次不等式时分类