到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念求般来说是借助解三角形的知识求角对点练习湖南高考如图所示中，由得在中，由得所以，直线与平面所成的角的正切值是求直线与平面所成的角的步骤如下作即在斜线上选取恰当的点向平面引垂⊥平面如图，作，与的延长线交于，连接，则⊥平面所以是直线与平面所成的角在中，由，，得在由得，即⊥又平面⊥平面，从而⊥平面在直角梯形中，由得⊥又平面⊥平面，所以的正切值思路点拨利用面面垂直的性质定理证明线面垂直利用条件作出线面角，再进步利用解三角形知识求解解证明如图，连接，在直角梯形中，由得例浙江高考如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，图证明⊥平面求直线与平面所成的角，⊥平面⊂平面，平面⊥平面，⊥平面⊥平面又⊂平面，平面⊥平面考向三线面角的求法及应用典例剖析中点，求证平面⊥平面平面⊥平面证明取的中点，连结则綊，，点在平面内⊥平面，⊥又⊥意添加注意证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的对点练习潍坊模拟如图所示，为正三角形，⊥平面，图，且，是的定义利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随又⊥，，所以⊥因为∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面判定面面垂直的常用方法利用面面垂直的，所以直线平面因为分别为棱的中点，所以又因为，故，所以，即⊥也可能平行，故错对于项，则⊥，，得⊥，又知，故⊥，所以项正确答案证明因为，分别为棱，的中点，所以又因为⊄平面，⊂平面，利用勾股定理可证线线垂直解析若⊥，⊂，⊂，则与可能平行，故错若，⊂，⊂，则与可能平行，也可能异面，故错若⊥，⊂，⊂，则与可能相交，也，利用勾股定理可证线线垂直解析若⊥，⊂，⊂，则与可能平行，故错若，⊂，⊂，则与可能平行，也可能异面，故错若⊥，⊂，⊂，则与可能相交，也可能平行，故错对于项，则⊥，，得⊥，又知，故⊥，所以项正确答案证明因为，分别为棱，的中点，所以又因为⊄平面，⊂平面，所以直线平面因为分别为棱的中点，所以又因为，故，所以，即⊥又⊥，，所以⊥因为∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面判定面面垂直的常用方法利用面面垂直的定义利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加注意证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的对点练习潍坊模拟如图所示，为正三角形，⊥平面，图，且，是的中点，求证平面⊥平面平面⊥平面证明取的中点，连结则綊，，点在平面内⊥平面，⊥又⊥，⊥平面⊂平面，平面⊥平面，⊥平面⊥平面又⊂平面，平面⊥平面考向三线面角的求法及应用典例剖析例浙江高考如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，图证明⊥平面求直线与平面所成的角的正切值思路点拨利用面面垂直的性质定理证明线面垂直利用条件作出线面角，再进步利用解三角形知识求解解证明如图，连接，在直角梯形中，由得由得，即⊥又平面⊥平面，从而⊥平面在直角梯形中，由得⊥又平面⊥平面，所以⊥平面如图，作，与的延长线交于，连接，则⊥平面所以是直线与平面所成的角在中，由，，得在中，由得在中，由得所以，直线与平面所成的角的正切值是求直线与平面所成的角的步骤如下作即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这步上确定垂足的位置是关键证即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念求般来说是借助解三角形的知识求角对点练习湖南高考如图所示，在四棱锥中，⊥平面，底面是等腰梯形，，⊥图证明⊥若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积解证明因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又⊥，∩，所以⊥平面而⊂平面，所以⊥如图所示，设和相交于点，连接，由知，⊥平面，所以是直线和平面所成的角从而由⊥平面，⊂平面知，⊥在中，由得因为四边形为等腰梯形，⊥，所以，均为等腰直角三角形从而梯形的高为，于是梯形的面积在等腰直角三角形中所以，故四棱锥的体积为思想方法转化思想在立体几何中的应用转化思想是立体几何的基本思想，其主要是空间问题向平面问题的转化，具体体现在以下四个方面位置关系间的转化，如线面面面平行与垂直的证明，最终转化为线与线间的位置关系证明三维空间向二维空间的转化，如空间中角的计算线线角线面角，最终转化为同平面内两相交直线所成角的问题割补转化，对于复杂的几何图形，通过“割”或“补”，化复杂图形为已熟知的几何体等积转化，如巧借“等积法”实现待求元素与已知元素间的联系，从而使问题得以解决典例剖析典例课标全国卷Ⅰ如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且⊥平面图证明⊥若⊥，求三棱柱的高思路点拨充分利用菱形中蕴含的垂直关系，转化为证明线面垂直问题转化为求到平面的距离解证明连接，则为与的交点因为侧面为菱形，所以⊥又⊥平面，所以⊥，又∩，故⊥平面由于⊂平面，故⊥作⊥，垂足为，连接作⊥，垂足为由于⊥，⊥，故⊥平面，所以⊥又⊥，所以⊥平面因为，所以为等边三角形又，可得由于⊥，所以由，且，得又为的中点，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为对点练习如图所示，已知梯形中，为的中点，如图所示，将沿折到的位置，使⊥，点在上，且，如图所示求证⊥平面求二面角的正切值图思路点拨解由题意，知⊥，又⊥，∩，所以⊥平面在上取点，使，连接，如图所示又，所以所以⊥平面过作⊥交于，连接，则⊥平面所以⊥所以为二面角的平面角，又在中，，即二面角的正切值为体积距离问题例武汉模拟如图所示，在边长为的正方形中分别是，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点图求证平面⊥平面求三棱锥的体积思路点拨先证明⊥平面，再证明平面⊥平面利用等体积法求解解证明折叠前，⊥，⊥，折叠后，⊥，⊥，又∩，⊥平面，⊂平面，平面⊥平面，分别是，的中点，折叠后，⊥由知⊥平面名师点津折叠问题的求解策略解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化抓住不变量是解决问题的突破口在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形专题集训长春模拟如图所示，四边形中，⊥将四边形沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，则下列结论正确的是图⊥与平面所成的角为四面体的体积为解析取的中点，连接⊥，又平面⊥平面，平面∩平面，⊥平面，⊥，不垂直于假设⊥，为在平面内的射影，⊥，矛盾，不垂直，错误⊥，平面⊥平面，⊥平面，在平面内的射影为，⊥，⊥，正确为直线与平面所成的角，，错误，错误答案如图所示，在长方形中，为的中点，为线段端点除外上动点现将沿折起，使平面⊥平面在平面内过点作⊥，为垂足设，则的取值范围是图解析如图所示，过作⊥，垂足为，连接，平面⊥平面，⊥，⊥平面，⊥，⊥平面，⊥容易得到，当接近点时，接近的中点，当接近点时，接近的四等分点的取值范围是，答案，如图，在边长为的等边三角形中分别是，上的点是的中点，与交于点将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中图证明平面证明⊥平面当时，求三棱锥的体积解证明在等边中在折叠后的图形中，仍有因此，从而因为⊄平面，⊂平面，所以平面证明在折叠前的图形中，因为为等边三角形所以⊥，则在折叠后的图形中，⊥，⊥，又所以，所以⊥又∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面由知，平面平面，由知⊥，⊥，又∩，所以⊥平面，所以⊥平面，即⊥平面在折叠前的图形中，由知，又，所以，所以，所以故三棱锥三棱锥第五节直线平面垂直的判定及其性质考纲要求以立体几何的有关定义公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理能运用线面垂直面面垂直的判定及性质定理证明些空间图形的垂直关系的简单命题了解二面角的概念掌握线面角的求法基础真题体验考查角度垂直关系广东高考若空间中四条两两不同的直线满足⊥，，⊥，则下列结论定正确的是⊥与既不垂直也不平行与的位置关系不确定解析在如图所示的正六面体中，不妨设为直线，为直线，则直线，可以是也可以是也可以是这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选答案浙江高考设，是两条不同的直线是两个不同的平面若⊥，，则⊥若，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥解析中，由⊥，可得或与相交或⊂，错误中，由，⊥可得或与相交或⊂，错误中，由⊥，⊥可得，又⊥，所以⊥，正确中，由⊥，⊥，⊥可得或与相交或⊂，错误答案四川高考如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是图，，，，解析根据题意可知平面⊥平面且两平面的交线是，所以过点作交线的垂线，则⊥平面，所以或其补角就是直线与平面所成的角设正方体的边长为，则根据图形可知直线与平面可以垂直当点与点重合时可得所以，所以当点与点重合时，可得根据选项可知正确答案命题规律预测命题规律从近几年的高考试题看，平面与平面的垂直线面及线线的垂直线面角的求法是高考命题的热点，主要考查线面面面位置关系的相互转化，同时考查空间想象能力及逻辑思维能力命题方式有两种是以客观题的形式考查线面的位置关系的判定，二是以解答题的形式考查线面位置关系的证明考向预测预测年线面位置关系的判断及证明依然是高考命题的热点，重点考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度中等考向直线与平面垂直的判定与性质典例剖析例如图所示，在四棱锥中，⊥平面，，图，是的中点，是上的点且，为中边上的高证明⊥平面证明⊥平面思路点拨由线面垂直的判定及性质证明⊥平面作出的中点，证明⊥平面，进而由与的关系证明⊥平面证明由于⊥平面⊂平面，故⊥又为中边上的高，故⊥∩，⊂平面，⊂平面，⊥平面过作交于点，连接为的中点，为的中点，故为等腰三角形，⊥⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊂平面，⊂平面，⊥平面又綊，綊，綊四边形为平行四边形，故⊥平面线面垂直证明的核心证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想线线垂直的隐含条件证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高中线和顶角的角平分线三线合矩形的内角直径所对的圆周角菱形的对角线互相垂直直角三角形或给出线段长度，经计算满足勾股定理直角梯形等等对点练习长春模拟如图所示，在四棱锥中，⊥平面，图，为线段上的点证明⊥平面若满足⊥平面，求的值解证明是线段的中垂线，所以⊥又⊥平面，⊥