间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值栏目链接考点探究变式探究对，，记，函数，的最小值是栏目链接考点探究解析将函数化为分段函数，利用数形结合法求解，当时，栏目链接感悟高考考情播报虽然近五年在该部分单独命题很少，但确定函数的单调性单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小求最值求参数的取值范围将会成为高考的热点常与函数的图象及奇偶性交汇命题题型多以选择题填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现栏目链接感悟高考品味高考重庆卷的最大值为解析因为，所以当时，的值最大，最大值为栏目链接感悟高考天津卷函数的单调递增区间为，，解析因为，求复合函数的单调区间的步骤确定函数定义域将复合函数分解成两个基本初等函数栏目链接考点探究分别确定两基本初等函数的单调性按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间差或复合函数，求单调区间定义法先求定义域，再利用单调性定义导数法利用导数取值的正负确定函数的单调区间图象法如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间为增函数，的单调增区间为单调减区间为，栏目链接考点探究点评求函数的单调区间与确定单调性的方法利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和由得，设，则，在，上为增函数，在，上为减函数，又在，上，上为减函数，在，上为增函数，又在，上为减函数，的单调增区间为单调减区间为，栏目链接考点探究，可得函数在区间，及，上为减函数，在区间，上为增函数设，在数的单调区间，并确定每单调区间上的单调性自主解答栏目链接考点探究解析，数的单调性解析在上是增函数证明如下设，即在上是增函数栏目链接考点求函数的单调区间考点探究例求下列函通常是因式分解和配方判断符号即判断的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性栏目链接考点探究变式探究判断并证明函数，是常，函数在上是单调减函数栏目链接考点探究点评利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的般步骤任取，，且作差变形栏目链接考点探究，同理，即单调性的讨论与证明考点探究例证明函数在上是单调减函数自主解答证明设，则得的实数对的序号是解析设矩形边长为，则，检验知，满足栏目链接栏目链接考点函数为单调增函数，且在，上的最小值为即，栏目链接课前自修个矩形的周长为，面积为，给出，其中可作为，取选栏目链接课前自修若函数在，上的最小值为，则实数的值为解析在，上数，则满足的实数的取值范围是，，，，解析为上的减函数，且或故确函数在，上单调递减，排除函数在上单调递减，排除函数在，上单调递减，排除，故选栏目链接课前自修已知函数为上的减函数确函数在，上单调递减，排除函数在上单调递减，排除函数在，上单调递减，排除，故选栏目链接课前自修已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是，，，，解析为上的减函数，且或故选栏目链接课前自修若函数在，上的最小值为，则实数的值为解析在，上为单调增函数，且在，上的最小值为即，栏目链接课前自修个矩形的周长为，面积为，给出，其中可作为，取得的实数对的序号是解析设矩形边长为，则，检验知，满足栏目链接栏目链接考点函数单调性的讨论与证明考点探究例证明函数在上是单调减函数自主解答证明设，则栏目链接考点探究，同理，即，函数在上是单调减函数栏目链接考点探究点评利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的般步骤任取，，且作差变形通常是因式分解和配方判断符号即判断的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性栏目链接考点探究变式探究判断并证明函数，是常数的单调性解析在上是增函数证明如下设，即在上是增函数栏目链接考点求函数的单调区间考点探究例求下列函数的单调区间，并确定每单调区间上的单调性自主解答栏目链接考点探究解析，可得函数在区间，及，上为减函数，在区间，上为增函数设，在，上为减函数，在，上为增函数，又在，上为减函数，的单调增区间为单调减区间为，栏目链接考点探究由得，设，则，在，上为增函数，在，上为减函数，又在，上为增函数，的单调增区间为单调减区间为，栏目链接考点探究点评求函数的单调区间与确定单调性的方法利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和差或复合函数，求单调区间定义法先求定义域，再利用单调性定义导数法利用导数取值的正负确定函数的单调区间图象法如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间求复合函数的单调区间的步骤确定函数定义域将复合函数分解成两个基本初等函数栏目链接考点探究分别确定两基本初等函数的单调性按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接栏目链接考点探究变式探究设函数在，内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，函数的单调递增区间为，栏目链取值范围是，，栏目链接考点探究依题意，只要能取到，上的任何值，则的值域为，故有解得，又当，即时，符合题意时不合题意，实数的取值范围是，栏目链接考点求函数的最值考点探究例已知函数，，当时，求函数的最小值若对任意，恒成立，试求实数的取值范围栏目链接考点探究解析当时，在区间，上为增函数，在区间，上的最小值为方法在区间，上恒成立恒成立设，，在，内单调递增，当时当且仅当时，函数恒成立实数的取值范围是，栏目链接考点探究方法二，，当时，函数的值恒为正当时，函数恒成立故实数的取值范围是，栏目链接考点探究点评求函数值域与最值的常用方法先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值图象法先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高最低点，求出最值配方法对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解换元法对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值栏目链接考点探究基本不等式法先对解析式变形，使之具备“正二定三相等”的条件后，再用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值栏目链接考点探究变式探究对，，记，函数，的最小值是栏目链接考点探究解析将函数化为分段函数，利用数形结合法求解，当时，栏目链接感悟高考考情播报虽然近五年在该部分单独命题很少，但确定函数的单调性单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小求最值求参数的取值范围将会成为高考的热点常与函数的图象及奇偶性交汇命题题型多以选择题填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现栏目链接感悟高考品味高考重庆卷的最大值为解析因为，所以当时，的值最大，最大值为栏目链接感悟高考天津卷函数的单调递增区间为，，解析因为，故或因为在定义域上是单调递减函数，在，上单调递减，故，是函数的单调增区间，故选栏目链接感悟高考高考测验已知函数在区间，上的值域是则的取值范围是解析，又由，得或由的图象知，因此栏目链接感悟高考已知函数的值域为，，则正实数等于解析依题意函数的值域为，得故选栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最大小值理解函数的单调性及其几何意义会运用函数图象理解和研究函数的性质会求些简单函数的值域理解函数的最大值最小值及其几何意义考纲要求栏目链接函数单调性的定义课前自修基础回顾增函数减函数定义设函数的定义域为，如果对于定义域内个区间上的任意两个自变量，当逐渐上升逐渐下降栏目链接二证明函数单调性的般方法课前自修定义法用定义法判断证明函数单调性的般步骤是设且作差将差式变形要注意变形的程度，般结果要分解为若干个因式的乘积，且每个因式的正或负能清楚地判断出判断要注意说理的充分性根据的符号确定其增减性，即下结论概括为取值作差变形定号下结论是给定区间内的任意两个值的正负栏目链接课前自修导数法设在个区间，内有导数，若在区间，内，总有，则在区间，上为增函数减函数反之，若在区间，内为增函数减函数，则请注意两者的区别所在栏目链接三求函数单调区间的方法课前自修定义法导数法图象法栏目链接四复合函数及其单调性课前自修复合函数设，，通过变量，得到关于的函数，那么称这个函数为函数和的，记作其中叫做外函数，叫做内函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域的子集复合函数栏目链接课前自修复合函数的单调性规律对于函数和，如果在区间，上具有单调性，当，时，且在区间，上也具有单调性，则复合函数在区间，具有单调性的规律见下表增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为“同增异减”栏目链接课前自修般地，设函数的定义域为，如果，满足对，恒有或，使得，则称是函数的五函数的最大值最小值最大值或最小值栏目链接六求函数值域最值的各种方法课前自修因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类求常见函数的值域求由常见函数复合而成的函数的值域求由常见函数作些“运算”而得函数的值域无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域具体的方法有直接法配方法分离常数法换元法三角函数有界法基本不等式法单调性法数形结合法导数法对于具体函数几乎都可以用导数法去解决栏目链接课前自修基础自测北京卷下列函数中，在区间，上为增函数的是栏目链接课前自修解析利用二次函数指数函数对数函数的单调性逐个判断函数在，上单调递增，正确函数在，上单调递减，排除函数在上单调递减，排除函数在，上单调递减，排除，故选栏目链接课前自修已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是，，，，解析为上的减函数，且或故选栏目链接课前自修若函数在，上的最小值为，则实数的值为解析在，上为单调增函数，且在，上的最小值为即，栏目链接课前自修个矩形的周长为，面积为，给出，其中可作为，取得的实数对的序号是解析设矩形边长为，则，检验知，满足栏目链接栏目链接考点函