等式的解集用区间表示为解析因为是定义在上的奇函数，所以易知时，解不等式得到的解集用区间表示为，，，，栏目链接感悟高考高考测验南京模拟已知函数是奇函数，当时，且，且，则的值为解析解得，又，栏目链接感悟高考已知奇函数则的值为解析因为函数为奇函数，所以，即，所以栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性的含义了解函数的周期性会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性考纲要求栏目链接函数的奇偶性课前自修函数奇偶性的定义及简单性质基础回顾奇偶性定义图象特点性质偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题掌握以下两个结论，会给解题带来方便为偶函数若奇函数在处有意义，则栏目链接考点探究变式探究，栏目链接考点探究点评关于奇偶性单调性周期性的综合性问题，关键是利用时从而当时故时，又当时，有，当时，以需将图象向左平移个单位长度，故方法二因为，所以，而为偶函，而，当探究变式探究设为常数，函数，若为偶函数，则等于解析方法因为，对称轴方程为，又为偶函数，其图象关于轴对称，所，，又奇函数的定义域关于原点对称，函数的定义域为且答案且栏目链接考点函数的奇偶性可求函数解析式中参数的范围或最值，主要方法是根据函数奇偶性的定义或奇偶函数图象的对称关系寻找解题的突破口栏目链接考点探究解析依题意得，例若是定义在，上的偶函数，则的值为奇函数其中常数的定义域为点评利用高三第学期统考下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是栏目链接考点奇偶函数性质的应用考点探究，都有，故为奇函数栏目链接考点探究变式探究解析对于，故选肇庆市它关于原点对称当，则当时，则综上所述，对任意的，，称，经化简得，为偶函数所给函数的定义域为，，，栏目链接考点探究解析由，且，得定义域为它关于原点不对称，故为非奇非偶函数由，，得函数定义域为，它关于原点对别提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在使，不能判断函数是奇函数分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用定义出现的错误在公共定义域内，偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数栏目链接考点探究特对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称性质法义域是否关于原点对称，若对称，再验证或其等价形式是否成立栏目链接考点探究点评判断函数的奇偶性，般有以下几种方法定义法若函数的定义域不是关于原点对义域是否关于原点对称，若对称，再验证或其等价形式是否成立栏目链接考点探究点评判断函数的奇偶性，般有以下几种方法定义法若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称性质法在公共定义域内，偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数栏目链接考点探究特别提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在使，不能判断函数是奇函数分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用定义出现的错误栏目链接考点探究解析由，且，得定义域为它关于原点不对称，故为非奇非偶函数由，，得函数定义域为，它关于原点对称，经化简得，为偶函数所给函数的定义域为，，，它关于原点对称当，则当时，则综上所述，对任意的，，，都有，故为奇函数栏目链接考点探究变式探究解析对于，故选肇庆市高三第学期统考下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是栏目链接考点奇偶函数性质的应用考点探究例若是定义在，上的偶函数，则的值为奇函数其中常数的定义域为点评利用函数的奇偶性可求函数解析式中参数的范围或最值，主要方法是根据函数奇偶性的定义或奇偶函数图象的对称关系寻找解题的突破口栏目链接考点探究解析依题意得，，，又奇函数的定义域关于原点对称，函数的定义域为且答案且栏目链接考点探究变式探究设为常数，函数，若为偶函数，则等于解析方法因为，对称轴方程为，又为偶函数，其图象关于轴对称，所以需将图象向左平移个单位长度，故方法二因为，所以，而为偶函，而，当时从而当时故时，又当时，有，当时，栏目链接考点探究点评关于奇偶性单调性周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题掌握以下两个结论，会给解题带来方便为偶函数若奇函数在处有意义，则栏目链接考点探究变式探究已知是定义在上的奇函数，且，当，时则解析依题意可得故选栏目链接考点探究山东省实验中学模拟已知定义在上的函数满足以下三个条件对于任意的，都有对于任意的，且，都有函数的图象关于轴对称则下列结论正确的是栏目链接考点探究解析由知，为增函数，且关于对称，为减函数，栏目链接感悟高考考情播报函数的奇偶性周期性的应用是高考的重要考点常与函数的图象单调性对称性零点等知识综合命题多以选择题填空题的形式出现栏目链接感悟高考湖南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则品味高考解析不妨令，根据函数的奇偶性，将，分别化为即得所求式子依题知，故选栏目链接感悟高考江苏卷已知是定义在上的奇函数当时则不等式的解集用区间表示为解析因为是定义在上的奇函数，所以易知时，解不等式得到的解集用区间表示为，，，，栏目链接感悟高考高考测验南京模拟已知函数是奇函数，当时，且，且，则的值为解析解得，又，栏目链接感悟高考已知奇函数则的值为解析因为函数为奇函数，所以，即，所以栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性的含义了解函数的周期性会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性考纲要求栏目链接函数的奇偶性课前自修函数奇偶性的定义及简单性质基础回顾奇偶性定义图象特点性质偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是偶函数定义域关于原点对称关于对称在对称区间上单调性奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是奇函数关于对称在对称区间上单调性轴相反原点相同栏目链接课前自修若为偶函数，则，反之，也成立若奇函数的定义域包含，则判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式在定义域关于原点对称的情况下，若或，则为偶函数若或，则为奇函数设，的定义域分别是那么在它们的公共定义域上奇奇奇，偶偶偶，偶偶偶，奇奇偶，奇偶奇栏目链接二函数的周期性课前自修周期函数定义若为非零常数，对于定义域内的任，使得恒成立，则叫做，叫做这个函数的周期函数的性质若是函数的个周期，则，也是它的个周期常写作若的周期中，存在个最小正数满足，则称为的最小正周期若周期函数的周期为，则也是周期函数，且周期为周期函数个周期栏目链接课前自修基础自测韶关高三调研考试函数是最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数解析，所以是最小正周期为的奇函数，故选栏目链接课前自修函数的图象关于轴对称直线对称坐标原点对称直线对称解析可判断为奇函数，所以图象关于原点对称故选栏目链接课前自修设是定义在上的奇函数，且当时则四川卷设是定义在上的周期为的函数，当，时，则解析函数的周期为，栏目链接考点函数奇偶性的判定考点探究例判断下列各函数的奇偶性，思路点拨确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证或其等价形式是否成立栏目链接考点探究点评判断函数的奇偶性，般有以下几种方法定义法若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称性质法在公共定义域内，偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数栏目链接考点探究特别提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在使，不能判断函数是奇函数分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用定义出现的错误栏目链接考点探究解析由，且，得定义域为它关于原点不对称，故为非奇非偶函数由，，得函数定义域为，它关于原点对称，义域是否关于原点对称，若对称，再验证或其等价形式是否成立栏目链接考点探究点评判断函数的奇偶性，般有以下几种方法定义法若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称性质法在公共定义域内，偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数栏目链接考点探究特别提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在使，不能判断函数是奇函数分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用定义出现的错误栏目链接考点探究解析由，且，得定义域为它关于原点不对称，故为非奇非偶函数由，，得函数定义域为，它关于原点对称，经化简得，为偶函数所给函数的定义域为，，，它关于原点对称当，则当时，则综上所述，对任意的，，，都有，故为奇函数栏目链接考点探究变式探究解析对于，故选肇庆市高三第学期统考下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是栏目链接考点奇偶函数性质的应用考点探究例若是定义在，上的偶函数，则的值为奇函数其中常数的定义域为点评利用函数的奇偶性可求函数解析式中参数的范围或最值，主要方法是根据函数奇偶性的定义或奇偶函数图象的对称关系寻找解题的突破口栏目链接考点探究解析依题意得，，，又奇函数的定义域关于原点对称，函数的定义域为且答案且栏目链接考点探究变式探究设为常数，函数，若为偶函数，则等于解析方法因为，对称轴方程为，又为偶函数，其图象关于轴对称，所以需将图象向左平移个单位长度，故方