，，求的最小值栏目链接考点探究解析设上的任意点为则它关于点，的对称点的坐标为，而点，满足，由得栏目链接考点探究当，即时，当，即时，当，即时，综上所述，，栏目链接感悟高考考情播报幂函数二次函数的图象与性质的应用估计将会成为高考命题的热点常与元二次不等式元二次方程等知识交汇命题，考查数形结合思想题型主要以选择题填空题为主，另外在解答题中常与导数的应用综合，属中高挡题栏目链接感悟高考设栏目链接考点探究解析函数的对称轴，函数，，是单调函数的充要条件是如果函数对任意实数都有，那么时，函数是增函数若，时，函数是增函数，则，得故选函数的对称轴为故选答案栏目链接考点探究变式探究函数考点探究点评二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质，在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质栏目链接考点探究解析函数的对称轴为，且图象的开口向上，当，时是增函数，则的取值范围是，，，，若，则的值是正数是负数是非负数与有关栏目链接，解得或舍去，因此的解析式为栏目链接考点二次函数的单调性与对称性考点探究例已知函数，且当，的解析式解析设，则，即，整理得，图象与轴的交点坐标，应选择两根式栏目链接考点探究变式探究已知二次函数的二次项系数为，且的解集为，方程有两相等实数根，求栏目链接考点探究点评在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式已知三个点的坐标，应选择般形式已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式已知函数，可设所求函数为又截轴上的弦长为，过点，和，又过点，解得，有且仅有个根图象等价条件栏目链接考点求二次函数的解析式考点探究例已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点求函数的解析式自主解答解析二次函数的对称轴为图象等价条件栏目链接课前自修续上表根的分布，，在，内解得栏目链接课前自修设，是实系数二次方程的两实根，则，分布范围与二次方程系数之间的关系见下表根的分布修江苏卷已知函数，若对于任意都有成立，则实数的取值范围是解析由二次函数图象可得，，恒成立，即或或解析依题意知函数为次函数，所以，解得或当时值域不为，故舍去故选栏目链接课前自为，则所以是“方程有个负数根”的充要条件故选栏目链接课前自修揭阳中段考若函数的定义域和值域都为，则的取值范围是方程有个负数根”的必要不充分条件充要条件充分不必要条件既不充分也不必要条件解析若，则由得，即，所以方程有个负根反之，若方程有个负根，设为方程有个负数根”的必要不充分条件充要条件充分不必要条件既不充分也不必要条件解析若，则由得，即，所以方程有个负根反之，若方程有个负根，设为，则所以是“方程有个负数根”的充要条件故选栏目链接课前自修揭阳中段考若函数的定义域和值域都为，则的取值范围是或或解析依题意知函数为次函数，所以，解得或当时值域不为，故舍去故选栏目链接课前自修江苏卷已知函数，若对于任意都有成立，则实数的取值范围是解析由二次函数图象可得，，恒成立，即解得栏目链接课前自修设，是实系数二次方程的两实根，则，分布范围与二次方程系数之间的关系见下表根的分布图象等价条件栏目链接课前自修续上表根的分布，，在，内有且仅有个根图象等价条件栏目链接考点求二次函数的解析式考点探究例已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点求函数的解析式自主解答解析二次函数的对称轴为，可设所求函数为又截轴上的弦长为，过点，和，又过点，解得，栏目链接考点探究点评在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式已知三个点的坐标，应选择般形式已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式已知函数图象与轴的交点坐标，应选择两根式栏目链接考点探究变式探究已知二次函数的二次项系数为，且的解集为，方程有两相等实数根，求的解析式解析设，则，即，整理得解得或舍去，因此的解析式为栏目链接考点二次函数的单调性与对称性考点探究例已知函数，且当，时是增函数，则的取值范围是，，，，若，则的值是正数是负数是非负数与有关栏目链接考点探究点评二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质，在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质栏目链接考点探究解析函数的对称轴为，且图象的开口向上，当，时，函数是增函数若，时，函数是增函数，则，得故选函数的对称轴为故选答案栏目链接考点探究变式探究函数，，是单调函数的充要条件是如果函数对任意实数都有，那么栏目链接考点探究解析函数的对称轴，函数，，是单调函数，故选抛物线开口向上又，故是其对称轴，即当时，取最小值，且而当时，是增函数，故选栏目链接考点求二次函数的最，令因为当时，单调递增，栏目链接考点探究所以当时因为，所以点评二次函数二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程不等式尤其是恒成立问题是高考命题的热点对于二次函数在闭区间，上的最值问题，要讨论函数图象的对称轴在区间外内的情况，而不是盲目使用配方法或公式法求最值注意判别式的使用条件，般来说，二次函数的定义域是实数集的子集时，使用判别式往往会得出错误结果栏目链接考点探究变式探究已知函数的图象与函数的图象关于点，对称求函数的表达式设函数，，求的最小值栏目链接考点探究解析设上的任意点为则它关于点，的对称点的坐标为，而点，满足，由得栏目链接考点探究当，即时，当，即时，当，即时，综上所述，，栏目链接感悟高考考情播报幂函数二次函数的图象与性质的应用估计将会成为高考命题的热点常与元二次不等式元二次方程等知识交汇命题，考查数形结合思想题型主要以选择题填空题为主，另外在解答题中常与导数的应用综合，属中高挡题栏目链接感悟高考设，二次函数的图象可能是品味高考解析当时，由知，同号，对应的图象应为或，在，两图中有，选项符合，同理可判断当时，选项，都不符合题意故选栏目链接感悟高考山东卷已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是，，解析方程有两个不相等的实根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，在同坐标系内分别作出其图象如图所示，当直线介于直线，之间时符合题意，故的取值范围是，栏目链接感悟高考高考测验已知函数，且，则下列命题成立的是在区间，上是减函数在区间，上是减函数在区间，上是增函数在区间，上是增函数解析因为，所以对称轴是所以在区间，上是减函数故选栏目链接感悟高考上海卷设，，，若，则的取值范围是解析由可得，，即的取值范围是，栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第四节次函数和二次函数熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了些条件的二次函数的解析式掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间会求二次函数的最值结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断元二次方程根的存在性及根的个数考纲要求栏目链接次函数及其性质课前自修函数叫做次函数当时，该函数在上是增函数当时，该函数在上是减函数由于次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大值最小值定在端点取得若函数在，时恒为正负，则在，处的函数值满足若函数在，上与轴有交点，则在，处的函数值满足基础回顾栏目链接二二次函数定义及其性质课前自修二次函数的定义二次函数的三种表示形式般式顶点式零点式二次函数的性质定义域为当时，值域为当时，值域为形如为常数且的函数叫做二次函数，，栏目链接课前自修图象是抛物线，其对称轴方程为，顶点坐标是当时，开口向当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，该函数是偶函数当时，该函数是非奇非偶函数，上下，，，，栏目链接课前自修二次函数在闭区间，的情形为例若，则该函数的最大值为，最小值为若，则该函数的最大值为，最小值为栏目链接三元二次方程根的分布问题课前自修研究元二次方程的根的分布，般情况下需要从以下三个方面考虑元二次方程根的判别式相应二次函数区间端点函数值的符号相应二次函数图象抛物线的对称轴与端点的位置关系栏目链接课前自修基础自测已知函数是单调递增函数，则实数的取值范围是，，，，解析对称轴为，依题意，对称轴应在区间，的左侧包括左端点所以，得故选栏目链接课前自修是“方程有个负数根”的必要不充分条件充要条件充分不必要条件既不充分也不必要条件解析若，则由得，即，所以方程有个负根反之，若方程有个负根，设为，则所以是“方程有个负数根”的充要条件故选栏目链接课前自修揭阳中段考若函数的定义域和值域都为，则的取值范围是或或解析依题意知函数为次函数，所以，解得或当时值域不为，故舍去故选栏目链接课前自修江苏卷已知函数，若对于任意都有成立，则实数的取值范围是解析由二次函数图象可得，，恒成立，即解得栏目链接课前自修设，是实系数二次方程的两实根，则，分布范围与二次方程系数之间的关系见下表根的分布图象等价条件栏目链接课前自修续上表根的分布，，在，内有且仅有个根图象等价条件栏目链接考点求二次函数的解析式考点探究例已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点求函数的解析式自主解答解析二次函数的对称轴为，可设所求函数为又截轴上的弦长为，过点，和，又过点，解得，栏目链接考点探究点评在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式已知三个点的坐标，应选择般形式已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式已知函数图象与轴的交点坐标，应选择两根式方程有个负数根”的必要不充分条件充要条件充分不必要条件既不充分也不必要条件解析若，则由得，即，所以方程有个负根反之，若方程有个负根，设为，则所以是“方程有个负数根”的充要条件故选栏目链接课前自修揭阳中段考若函数的定义域和值域都为，则的取值范围是或或解析依题意知函数为次函数，所以，解得或当时值域不为，故舍去故选栏目链接课前自修江苏卷已知函数，若对于任意都有成立，则实数的取值范围是解析由二次函数图象可得，，恒成立，即解得栏目链接课前自修设，是实系数二次方程的两实根，则，分布范围与二次方程系数之间的关系见下表根的分布图象等价条件栏目链接课前自修续上表根的分布，，在，内有且仅有个根图象