，令得，且，时当，时所以当时，最小栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第十五节用导数解决生活中的优化问题会利用导数解决些实际问题考纲要求栏目链接课前自修优化问题社会经济生活生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润用料效率等问题通常称为问题利用导数解决生活中的优化问题的般步骤分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定定义域求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定基础回顾最大最省最高优化数学模型变量间的函数关系式导数极值点栏目链接课前自修比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大小值还原感悟高考考情播报利用导数求函数的单调区间及极值最值结合单调性与不等式的成立情况求参数范围证明不等式等问题是高考命题的热点常与基本初等函数的图象与性质解析几何不等式方程等交汇命题，主要考查究解析设圆柱的高为，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为令，得，此时有最大值为故选栏目链接变式探究公司生产种产品，固定成本为元，每生产件产品，成本栏目链接考点探究变式探究在半径为的半球内有内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是栏目链接考点探，所以为增函数当时，为减函数故，又，所以当时，水中碱浓度的最大值为栏目链接考点探究，当时当且仅当时取，即，当时，第次投放单位固体碱已无残留，当时当时，第次投放单位固体碱已无残留，故当时当时栏目链接考点探究所以能够维持有效的抑制作用的时间小时由知，时第二次投入单位固体碱，显然的定义域为，当时，第次投放单位固体碱还有残留，故，求的函数式及水中碱浓度的最大值此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加自主解答栏目链接考点探究解析由题意知，或，解得或，即如果只投放个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长栏目链接考点探究第次投放单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度与时间小时的关系可近似地表示为只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用点与分段函数有关的优化问题考点探究例佛山江门二模水域艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，个单位生产种产品，每生产千件需投入成本万元，每千件的销售收入单位万元与年产量单位千件满足关系时，所以当时，有最大值故选栏目链接考，故在，上是增函数，在，上是减函数所以为时，取最大值，即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大栏目链接考点探究变式探究公司，则有，令解得舍去或，当，栏目链接考点探究当时当百万元时，取得最大值百万元，即投入百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大设用于技术改造的资金为百万元，则用于广告促销的资金为百万元，又设由此获得的收益是判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较栏目链接考点探究解析设投入百万元的广告费后增加的收益为百万元，则有域内的实根，确定极值点比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大小值还原到实际问题中作答栏目链接考点探究在实际问题中，如果函数在区间内只有个极值点，则只需根据实际情况判域内的实根，确定极值点比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大小值还原到实际问题中作答栏目链接考点探究在实际问题中，如果函数在区间内只有个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较栏目链接考点探究解析设投入百万元的广告费后增加的收益为百万元，则有，当百万元时，取得最大值百万元，即投入百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大设用于技术改造的资金为百万元，则用于广告促销的资金为百万元，又设由此获得的收益是，则有，令解得舍去或，当，栏目链接考点探究当时，故在，上是增函数，在，上是减函数所以为时，取最大值，即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大栏目链接考点探究变式探究公司生产种产品，每生产千件需投入成本万元，每千件的销售收入单位万元与年产量单位千件满足关系时，所以当时，有最大值故选栏目链接考点与分段函数有关的优化问题考点探究例佛山江门二模水域艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度与时间小时的关系可近似地表示为只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用如果只投放个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长栏目链接考点探究第次投放单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为，求的函数式及水中碱浓度的最大值此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加自主解答栏目链接考点探究解析由题意知，或，解得或，即能够维持有效的抑制作用的时间小时由知，时第二次投入单位固体碱，显然的定义域为，当时，第次投放单位固体碱还有残留，故当时，第次投放单位固体碱已无残留，故当时当时栏目链接考点探究所以，当时当且仅当时取，即，当时，第次投放单位固体碱已无残留，当时所以为增函数当时，为减函数故，又，所以当时，水中碱浓度的最大值为栏目链接考点探究变式探究公司生产种产品，固定成本为元，每生产件产品，成本栏目链接考点探究变式探究在半径为的半球内有内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是栏目链接考点探究解析设圆柱的高为，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为令，得，此时有最大值为故选栏目链接感悟高考考情播报利用导数求函数的单调区间及极值最值结合单调性与不等式的成立情况求参数范围证明不等式等问题是高考命题的热点常与基本初等函数的图象与性质解析几何不等式方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想分类讨论思想的应用,题型主要以解答题为主，属中高挡题栏目链接感悟高考品味高考放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯的衰变过程中，其含量单位太贝克与时间单位年满足函数关系，其中为时铯的含量已知时，铯的含量的变化率是单位太贝克年，则太贝克太贝克太贝克太贝克栏目链接感悟高考解析因为，则，解得，所以，那么太贝克故选栏目链接感悟高考商场销售种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位千克与销售价格单位元千克满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出该商品千克求的值若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大栏目链接感悟高考解析因为时所以由知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润为，令，得于是当变化时的变化情况见下表↗极大值↘由上表可得，是在区间，内的极大值点，也是最大值点所以当时，函数取得最大值栏目链接感悟高考高考测验工厂从年开始，近年以来生产种产品的情况是前年年产量的增长速度越来越慢，后年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图象可能是栏目链接感悟高考解析观察知，选项中，时，图中曲线的切线斜率越来越小，表明增长速度越来越慢时，是条线段，斜率为定值，表明增长速度不变故选栏目链接感悟高考艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为时燃料费是元，而其他与速度无关的费用是元，问轮船以何种速度航行时，能使行使路程的费用总和最小栏目链接感悟高考解析设船的行使速度为时，燃料费用为元，则，则从而，设总费用为元，行驶路程为，则，，令得，且，时当，时所以当时，最小栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第十五节用导数解决生活中的优化问题会利用导数解决些实际问题考纲要求栏目链接课前自修优化问题社会经济生活生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润用料效率等问题通常称为问题利用导数解决生活中的优化问题的般步骤分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定定义域求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定基础回顾最大最省最高优化数学模型变量间的函数关系式导数极值点栏目链接课前自修比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大小值还原到实际问题中作答区间端点极值点栏目链接课前自修以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为基础自测栏目链接课前自修产品的销售收入万元是产品千台的函数生产总成本万元也是的函数为使利润最大，应生产千台千台千台千台解析，故选栏目链接课前自修将边长为的正三角形薄铁皮，沿条平行于边的直线剪成两块，其中块是梯形，记梯形的周长梯形的面积，则的最小值是解析如图所示，设，则，梯形的周长为，又，梯形的面积为，令，得或舍去，当，时递减，当，时递增，故当时，的最小值是栏目链接课前自修当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值时，它的底面半径为时，才能使饮料罐的体积最大解析设圆柱形金属饮料罐的底面半径为，高为，令，因只有个极值点，故它就是最大值点栏目链接考点利润最大问题考点探究例集团为了获得更大的利益，每年要投入定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费百万元可增加销售额约为百万元若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大现该公司准备共投入万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元请设计个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大注收益销售额投入自主解答栏目链接考点探究点评利用导数解决生活中优化问题的般步骤分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系，并根据实际意义确定定义域求函数的导数，解方程得出定义域内的实根，确定极值点比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大小值还原到实际问题中作答栏目链接考点探究在实际问题中，如果函数在区间内只有个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较栏目链接考点探究解析设投入百万元的广告费后增加的收益为百万元，则有，当百万元时，取得最大值百万元，即投入百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大设用于技术改造的资金为百万元，则用于广告促销的资金为百万元，又设由此获得的收益是，则有，令解得舍去或，当，栏目链接考点探究当时，故在，上是增函数，在，上是减函数所以为时，取最大值，即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大栏目链接考点探究变式探究公司生