上恒成立，由得，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减栏目链接感悟高考当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减若，即时，在，上恒有，即函数在，上单调递增，栏目链接感悟高考综上得当时，函数在，上单调递增，在，单调递减当时，函数在，单调递增，在，单调递减在，上单调递增当时，函数在，上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在，单调递减在，上单调递增证明由知当时，函数，得，的增区间为减区间为，，即，方程，由知当时，即，又令令，得令，上为减函数，综上所述当时，在，上增函数当时，在，上增函数，在，上为减函数栏目链接考点探究则，从而在，上增函数，若，则由，即，由，即在，上增函数，在当时，在，上是增函数，在，上是减函数，，若，上的单调情况试推断方程是否有实数解若有实数解，请求出它的解集栏目链接考点探究解析当时当时，考点探究栏目链接考点与导数有关的综合问题考点探究例汕尾二模已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数当时，求的最大值讨论在区间，间，内单调递增，在区间，内单调递减，从而函数在区间，内恰有两个零点当且仅当，解得所以，的取值范围是下表，↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，由知在区在区间，内恰有两个零点，求的取值范围栏目链接解析由，得当变化时的变化如以必须，即所以实数的取值范围为，栏目链接考点探究变式探究已知函数，，其中求函数的单调区间若函数图象的三条不同切线，则函数有三个不同的零点即函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令，解得或因为，，所，因为点，在该切线上，所以，栏目链接考点探究即若过点，可作函数调递增区间为单调递减区间为，设点，是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率，所以过点的切线方程为时，函数，得所以当时函数单调递增当或时函数单调递减所以函数的单，若只有个零点，则只需极小值大于零或极大值小于零若有两个零点，则只需极小值等于零或极大值等于零若有三个零点，则只需极小值小于零且极大值大于零栏目链接考点探究解析当数的单调区间若过点，可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围自主解答点评利用导数讨论三次函数的零点的常用结论对于在上非单调的三次函数，数的单调区间若过点，可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围自主解答点评利用导数讨论三次函数的零点的常用结论对于在上非单调的三次函数，若只有个零点，则只需极小值大于零或极大值小于零若有两个零点，则只需极小值等于零或极大值等于零若有三个零点，则只需极小值小于零且极大值大于零栏目链接考点探究解析当时，函数，得所以当时函数单调递增当或时函数单调递减所以函数的单调递增区间为单调递减区间为，设点，是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率，所以过点的切线方程为，因为点，在该切线上，所以，栏目链接考点探究即若过点，可作函数图象的三条不同切线，则函数有三个不同的零点即函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令，解得或因为，，所以必须，即所以实数的取值范围为，栏目链接考点探究变式探究已知函数，，其中求函数的单调区间若函数在区间，内恰有两个零点，求的取值范围栏目链接解析由，得当变化时的变化如下表，↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，由知在区间，内单调递增，在区间，内单调递减，从而函数在区间，内恰有两个零点当且仅当，解得所以，的取值范围是，考点探究栏目链接考点与导数有关的综合问题考点探究例汕尾二模已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数当时，求的最大值讨论在区间，上的单调情况试推断方程是否有实数解若有实数解，请求出它的解集栏目链接考点探究解析当时当时当时，在，上是增函数，在，上是减函数，，若，则，从而在，上增函数，若，则由，即，由，即在，上增函数，在，上为减函数，综上所述当时，在，上增函数当时，在，上增函数，在，上为减函数栏目链接考点探究，由知当时，即，又令令，得令，得，的增区间为减区间为，，即，方程即方程没有实数解栏目链接考点探究点评与导数有关的综合问题有多个方面不等式的证明，函数单调性的判断，函数极值最值的求解，函数零点的判断等都会用到导数方法而导数应用的核心问题是导函数的符号与函数单调性的关系栏目链接考点探究变式探究设，当，时，设，是的两个极值点，且满足当，时，求函数的最小值高考，令，得令，则，所以在，上递增，所以，从而，所以所以当，时当，时所以，令，则，令，则，所以在，上递减，而，栏目链接感悟高考所以存在，使得，且当，时当，时所以在，上单调递增，在，上单调递减因为所以在，上恒成立，当且仅当时取得综上，函数在，上的最大值栏目链接感悟高考高考测验潮州高三统考若函数不是单调函数，则实数的取值范围是解析函数的定义域为，，若函数不是单调函数，则在，上有零点，即在，上有解，故，故选栏目链接感悟高考揭阳模已知函数函数的图象在点，处的切线平行于轴确定与的关系试讨论函数的单调性证明对任意，都有成立栏目链接感悟高考解析依题意得，则，由函数的图象在点，处的切线平行于轴得，解析由得，函数的定义域为，，当时，在，上恒成立，由得，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减栏目链接感悟高考当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在，单调递减若，即时，在，上恒有，即函数在，上单调递增，栏目链接感悟高考综上得当时，函数在，上单调递增，在，单调递减当时，函数在，单调递增，在，单调递减在，上单调递增当时，函数在，上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在，单调递减在，上单调递增证明由知当时，函数在，单调递增即，栏目链接感悟高考令，，则，„„，，即栏目链接高考总复习数学理科第二章函数导数及其应用第十四节导数在研究函数中的应用二课前自修函数的图象如图所示，则不等式或观察图象可知或所以不等式的解集为，，故选栏目链接课前自修辽宁卷当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是，，栏目链接课前自修解析令，，时，得，，令，，，则，显然在，时，所以的最大值为，因此同理，时，得，，时单调递减时单调递增，则当时，的最小值为，因此时，显然不等式恒成立综上，得，故选栏目链接课前自修大纲全国卷曲线在点，处切线的斜率等于解析利用导数的运算法则和几何意义求解因为，所以曲线在点，处切线的斜率，故选栏目链接课前自修南宁联考已知函数在，内有最小值，则的取值范围是，解析，显然由已知条件，解得栏目链接考点利用导数证明不等式考点探究例设函数证明当时，思路点拨欲证，即证，也就是证，即证，假设构造函数，若能证明当时则问题得证自主解答点评通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，利用单调性证明不等式这也是证明不等式的种有效方法栏目链接考点探究证明欲证当时即证令，则当时在，上是增函数当时在，上是减函数于是在处达到最小值，因而当时即所以当时，栏目链接考点探究变式探究北京卷设为曲线在点，处的切线求的方程证明除切点，之外，曲线在直线的下方栏目链接考点探究解析由，得，直线的方程为，即证明要证明，除切点，外，曲线在直线下方只要证明，对且时，设则，因此在，上单调递减，在，单调递增，即故当且时成立因此原命题成立栏目链接考点函数的零点与导数考点探究例广州质检改编已知函数当时，求函数的单调区间若过点，可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围自主解答点评利用导数讨论三次函数的零点的常用结论对于在上非单调的三次函数，若只有个零点，则只需极小值大于零或极大值小于零若有两个零点，则只需极小值等于零或极大值等于零若有三个零点，则只需极小值小于零且极大值大于零栏目链接考点探究解析当时，函数，得所以当时函数单调递增当或时函数单调递减所以函数的单调递增区间为单调递减区间为，设点，是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率，所以过点的切线方程为，因为点，在该切线上，所以，栏目链接考点探究即若过点，可作函数图象的三条不同切线，则函数有三个不同的零点即函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令，解得或因为，，所以必须，即所以实数的取值范围为，栏目链接考点探究变式探究已知函数，，其中求函数的单调区间若函数在区间，内恰有两个零点，求的取值范围栏目链接解析由，得当变化时的变化如下表，↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，由知在区间，内单调递增，在区间，内单调递减，从而函数在区间，内恰有两个零点数的单调区间若过点，可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围自主解答点评利用导数讨论三次函数的零点的常用结论对于在上非单调的三次函数，若只有个零点，则只需极小值大于零或极大值小于零若有两个零点，则只需极小值等于零或极大值等于零若有三个零点，则只需极小值小于零且极大值大于零栏目链接考点探究解析当时，函数，得所以当时函数单调递增当或时函数单调递减所以函数的单调递增区间为单调递减区间为，设点，是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率，所以过点的切线方程为，因为点，在该切线上，所以，栏目链接考点探究即若过点，可作函数图象的三条不同切线，则函数有三个不同的零点即函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令，解得或因为，，所以必须，即所以实数的取值范围为，栏目链接考点探究变式探究已知函数，，其中求函数的单调区间若函数在区间，内恰有两个零点，求的取值范围栏目链接解析由，得当变化时的变化如下表，