等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形栏目链接考点探究在中，三边满足，则三角形的形状是锐角三角形解析即三角形为直角三角形故选，则边最大，不妨设，则，由余弦定理可知最大角为锐角，三角形为锐角三角形栏目链接感悟高考考情播报利用正余弦定理求三角形中的边角问题是高考考查的热点常与三角恒等变换平面向量平面立体几何相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系三角形形状的判断等问题三种题型都有可能出现，属中低挡题栏目链接感悟高考品味高考天津卷在中，，则栏目链接感悟高考解析在中，由余弦定理，由正弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周长等于，故选栏目链接考点正余弦，所以，因为是三角形内角，所以故选由题意可得，即，所以再由余弦定理可得的面积为，则的周长等于栏目链接考点探究解析根据正弦定理将化为，即案栏目链接考点探究变式探究在中，若三个内角满足，则角等于宁德质检已知又因为角为的内角，故在中，利用余弦定理，即，化简得，与题目条件联立，可解得，答边，解三角形已知两边及边的对角求第三边利用方程思想栏目链接考点探究解析由，得，根据余弦定理则思路点拨已知两边及其夹角，求第三边或已知三边求其内角，用余弦定理来求栏目链接考点探究点评余弦定理的适用条件已知两边及其夹角，求第三边已知三故选栏目链接考点用余弦定理求边角考点探究例设的内角所对的边分别为若，则角在中，若所以显然为锐角，得，所以，比较易得，即，所以与的大小关系不能确定栏目链接考点探究解析，，则由正弦定理可得，故选由正弦定理得江门模在中，若，则在中，角所对的边长分别为若则故选由正弦定理知，周长为答案栏目链接考点探究变式探究中，在中，，由正弦定理得，所以栏目链接考点探究点评利用正弦定理解三角形的两种类型若已知两角与任意边，则可求其他边和角若已知两边和其中边对角，则可求其他边和角栏目链接考点探究解析由题意知，在弦定理求边角考点探究例如图，正方形的边长为，延长至，使，连接则在中则周长的最大值为，且，则角或解析在中，有正弦定理可得，即，解得或栏目链接考点用正解析由已知得，由正弦定理，得栏目链接课前自修汕头二模在，角的对边分别为解析由已知得，由正弦定理，得栏目链接课前自修汕头二模在，角的对边分别为，且，则角或解析在中，有正弦定理可得，即，解得或栏目链接考点用正弦定理求边角考点探究例如图，正方形的边长为，延长至，使，连接则在中则周长的最大值为栏目链接考点探究点评利用正弦定理解三角形的两种类型若已知两角与任意边，则可求其他边和角若已知两边和其中边对角，则可求其他边和角栏目链接考点探究解析由题意知，在中，在中，，由正弦定理得，所以故选由正弦定理知，周长为答案栏目链接考点探究变式探究江门模在中，若，则在中，角所对的边长分别为若则与的大小关系不能确定栏目链接考点探究解析，，则由正弦定理可得，故选由正弦定理得，所以显然为锐角，得，所以，比较易得，即，所以故选栏目链接考点用余弦定理求边角考点探究例设的内角所对的边分别为若，则角在中，若，则思路点拨已知两边及其夹角，求第三边或已知三边求其内角，用余弦定理来求栏目链接考点探究点评余弦定理的适用条件已知两边及其夹角，求第三边已知三边，解三角形已知两边及边的对角求第三边利用方程思想栏目链接考点探究解析由，得，根据余弦定理又因为角为的内角，故在中，利用余弦定理，即，化简得，与题目条件联立，可解得，答案栏目链接考点探究变式探究在中，若三个内角满足，则角等于宁德质检已知的面积为，则的周长等于栏目链接考点探究解析根据正弦定理将化为，即，所以，因为是三角形内角，所以故选由题意可得，即，所以再由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的周长等于，故选栏目链接考点正余弦定理三角形面积公式的应用考点探究例在中，内角所对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求若，求的面积解析由余弦定理及已知条件得，即又因为的面积等于，所以故此三角形为等腰三角形方法二利用正弦定理将边转化为角，又，即故此三角形是等腰三角形答案等腰三角形栏目链接考点探究点评依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法利用正余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状利用正余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论栏目链接考点探究变式探究在中，分别为角的对边，则的形状为等边三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形栏目链接考点探究在中，三边满足，则三角形的形状是锐角三角形解析即三角形为直角三角形故选，则边最大，不妨设，则，由余弦定理可知最大角为锐角，三角形为锐角三角形栏目链接感悟高考考情播报利用正余弦定理求三角形中的边角问题是高考考查的热点常与三角恒等变换平面向量平面立体几何相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系三角形形状的判断等问题三种题型都有可能出现，属中低挡题栏目链接感悟高考品味高考天津卷在中，，则栏目链接感悟高考解析在中，由余弦定理，由正弦定理得，，故选栏目链接感悟高考已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为解析设三角形的最小边长为，则另两边为在中，由余弦定理知最大角余弦值为栏目链接感悟高考高考测验深圳二模已知在中则角等于解析由正弦定理得，即，又因为，所以，故选栏目链接感悟高考韶关二模的三个内角对应的三条边长分别是，且满足求的值若求和的值解析将利用正弦定理化简得，即，即，栏目链接感悟高考，，则则由正弦定理，得栏目链接高考总复习数学理科第三章三角函数与解三角形第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理余弦定理，并能解决些简单的三角形度量问题考纲要求栏目链接三角形中的各种关系课前自修设的三边为，对应的三个角为三内角的关系边与边关系边与角关系正弦定理为外接圆半径余弦定理基础回顾栏目链接课前自修它们的变式有，∶∶，常用三角形面积公式∶∶栏目链接二关于三角形内角的常用三角恒等式课前自修由，知可得出，而，有，栏目链接三三角形度量问题课前自修求边角面积周长及有关圆半径等条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数解两解解无解解无解栏目链接四判断三角形的形状特征，必须深入地研究边角间的关系课前自修几个常用基本结论或⇔等腰三角形或⇔直角三角形或⇔钝角三角形若为最大边且或为最大角且⇔锐角三角形若⇔等腰三角形若⇔等腰三角形或直角三角形基本思想方法从条件出发，利用正弦定理或余弦定理进行代换转化逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径统成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换统成边进行判断，常用余弦定理面积公式等栏目链接课前自修基础自测在的内角的对边分别为，若，则的面积为栏目链接课前自修珠海高三摸底考试在中，“”是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析因为在中故，即“”是的充要条件，故选栏目链接课前自修在中，若则解析由已知得，由正弦定理，得栏目链接课前自修汕头二模在，角的对边分别为，且，则角或解析在中，有正弦定理可得，即，解得或栏目链接考点用正弦定理求边角考点探究例如图，正方形的边长为，延长至，使，连接则在中则周长的最大值为栏目链接考点探究点评利用正弦定理解三角形的两种类型若已知两角与任意边，则可求其他边和角若已知两边和其中边对角，则可求其他边和角栏目链接考点探究解析由题意知，在中，在中，，由正弦定理得，所以故选由正弦定理知，周长为答案栏目链接考点探究变式探究江门模在中，若，则在中，角所对的边长分别为若则与的大小关系不能确定栏目链接考点探究解析，，则由正弦定理可得，故选由正弦定理得，所以显然为锐角，得，所以，比较易得，即，所以故选栏目链接考点用余弦定解析由已知得，由正弦定理，得栏目链接课前自修汕头二模在，角的对边分别为，且，则角或解析在中，有正弦定理可得，即，解得或栏目链接考点用正弦定理求边角考点探究例如图，正方形的边长为，延长至，使，连接则在中则周长的最大值为栏目链接考点探究点评利用正弦定理解三角形的两种类型若已知两角与任意边，则可求其他边和角若已知两边和其中边对角，则可求其他边和角栏目链接考点探究解析由题意知，在中，在中，，由正弦定理得，所以故选由正弦定理知，周长为答案栏目链接考点探究变式探究江门模在中，若，则在中，角所对的边长分别为若则与的大小关系不能确定栏目链接考点探究解析，，则由正弦定理可得，故选由正弦定理得，所以显然为锐角，得，所以，比较易得，即，所以故选栏目链接考点用余弦定理求边角考点探究例设的内角所对的边分别为若，则角在中，若，则思路点拨已知两边及其夹角，求第三边或已知三边求其内角，用余弦定理来求栏目链接考点探究点评余弦定理的适用条件已知两边及其夹角，求第三边已知三边，解三角形已知两边及边的对角求第三边利用方程思想栏目链接考点探究解析由，得，根据余弦定理又因为角为的内角，故在中，利用余弦定理，即，化简得，与题目条件联立，可解得，答案栏目链接考点探究变式探究在中，若三个内角满足，则角等于宁德质检已知的面积为，则的周长等于栏目链接考点探究解析根据正弦定理将化为，即，所以，因为是三角形内角，所以故选由题意可得，即，所以再由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的周长等于，故选栏目链接考点正余弦定理三角形面积公式的应用考点探究例在中，内角所对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求若，求的面积解析由余弦定理及已知条件得，即又因为的面积等于，所以，且，则角或解析在中，有正弦定理可得，即，解得或栏目链接考点用正栏目链接考点探究点评利用正弦定理解三角形的两种类型若已知两角与任意边，则可求其他边和角若已知两边和其中边对角，则可求其他边和角栏目链接