与垂直，即，故选考点向量模公式的应用考点探究例已知满足求解析由得即，考点探究即点评在向量的非坐标运算中，向量的数量积与向量模的转化公式起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化考点探究变式探究已知向量与的夹角为，则等于解析或舍去故选考点探究已知向量，满足，则解析故接圆的圆心为，半径为，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为考点探究解析由已知可以知道，的外接圆的圆心在线段的故向量在方向上的投影为将此结论作为个公式记忆考点探究变式探究若向量若⊥，则的值为或或的外设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与的夹角而，考点探究由于与垂直解得数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的考点探究与的夹角，又点评两个向量，的数量又又，的夹角而故向量在方向上的投影为将若求的面积自主解答考点探究解析，解得设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与，考点探究由于与垂直，考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析向量，的数量积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点探究与的夹角，又点评两个又又考点探究例已知求与的夹角求若求的面积自主解答考点探究解析则只有当时，才能成立，否则不能成立，故错误考点求向量的数量积考，则只有当时，才能成立，否则不能成立，故错误考点求向量的数量积考点探究例已知求与的夹角求若求的面积自主解答考点探究解析又又，考点探究与的夹角，又点评两个向量，的数量积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析，考点探究由于与垂直解得设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与的夹角而故向量在方向上的投影为将若求的面积自主解答考点探究解析又又，考点探究与的夹角，又点评两个向量，的数量积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析，考点探究由于与垂直解得设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与的夹角而故向量在方向上的投影为将此结论作为个公式记忆考点探究变式探究若向量若⊥，则的值为或或的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为考点探究解析由已知可以知道，的外接圆的圆心在线段的中点处，因此是直角三角形，且，又，，，故在向量方向上的射影的数量为故选考点两个向量垂直的充要条件的应用考点探究例已知平面向量，证明⊥若存在不同时为零的实数和，使且⊥，试求函数关系式证明，⊥考点探究解析⊥又，点评两个向量的垂直关系问题，通过向量的数量积转化为实数运算问题，因此，解决向量垂直问题的关键不在数量积公式的使用，而在代数或三角的运算考点探究变式探究已知向量与垂直，则实数的值为解析已知向量与垂直，即，故选考点向量模公式的应用考点探究例已知满足求解析由得即，考点探究即点评在向量的非坐标运算中，向量的数量积与向量模的转化公式起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化考点探究变式探究已知向量与的夹角为，则等于解析或舍去故选考点探究已知向量，满足，则解析故选考点求向量的夹角或其函数值考点探究例设向量，满足，则与的夹角是解析由得故选答案考点探究点评利用向量夹角公式时，不定要求出，和的值，只要能得出它们的关系也可以求出比值求角时，注意向量夹角的取值范围是若题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式求解考点探究变式探究已知向量，满足，⊥，向量与的夹角为解析由题意可得，即解得，再由，可得故答案为高考总复习数学理科第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考纲要求考点平面向量的数量积的概念考点探究例对于任意向量，下列命题中正确的是解析，错误考点探究根据向量加法的平行四边形法则只有当，同向时取，错误是向量，其方向与向量相同与向量的方向相同，错误，正确故选点评在使用向量的数量积运算法则时，要注意与实数运算法则的区别，不要盲目照搬实数的运算法则对向量数量积的性质，要注意在特殊情况下的数量积公式的不同形式考点探究变式探究设，是两个非零向量，以下命题正确的是若，则⊥若⊥，则若，则存在实数，使得若存在实数，使得，则考点探究解析利用向量运算法则，特别是求解由知，即，，，，，，此时与反向共线，因此错误当⊥时，与不反向也不共线，因此错误若，则存在实数，使，满足与反向共线，故正确若存在实数，使得，则只有当时，才能成立，否则不能成立，故错误考点求向量的数量积考点探究例已知求与的夹角求若求的面积自主解答考点探究解析又又，考点探究与的夹角，又点评两个向量，的数量积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析，考点探究由于与垂直，则只有当时，才能成立，否则不能成立，故错误考点求向量的数量积考点探究例已知求与的夹角求若求的面积自主解答考点探究解析又又，考点探究与的夹角，又点评两个向量，的数量积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析，考点探究由于与垂直解得设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与的夹角而故向量在方向上的投影为将考点探究例已知求与的夹角求若求的面积自主解答考点探究解析考点探究与的夹角，又点评两个考点向量的数量积的坐标运算考点探究例已知向量，设，求若与垂直，求的值求向量在方向上的投影解析，解得设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为点评向量在方向上的投影为为与又又，积是个实数，而不是向量，其中计算数量积的关键是正确确定，的取值范围是，考点探究变式探究在边长为的正三角形中，设则考点向量的，考点探究由于与垂直解得故向量在方向上的投影为将此结论作为个公式记忆考点探究变式探究若向量若⊥，则的值为或或的外与垂直，即，故选考点向量模公式的应用考点探究例已知满足求解析由得即，考点探究即点评在向量的非坐标运算中，向量的数量积与向量模的转化公式起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化考点探究变式探究已知向量与的夹角为，则等于解析或舍去故选考点探究已知向量，满足，则解析故