材，完成下列问题函数，，的图象画法作直角坐标系，并在直角坐标系轴作单位圆左侧把单位圆右半圆分成等份，分别在单位圆中作出描点横坐标是个周期的等分点，纵坐标是相应的正切线连线正切线函数，，，的图象画法根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左右扩展，就可以得到正切函数，，，的图象，我们把它叫做正切曲线思考正切曲线与直线相交吗为什么正切曲线是中心对称图形吗对称中心是什么提示不会相交因为正切函数的定义域为，，所以正切曲线与直线不会相交，即正切曲线是由相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成的由函数图象知，正切曲线是中心对称图形，对称中心为练习函数在个周期内的图象是解析函数的周期为，排除项又当时排除项，故选答案新视期性，扩展到定义域上即可变式探究画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性解析由得，且，的图象般利用图象变换方法，具体步骤是保留函数图象在轴上方的部分将函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折若函数为周期函数，可先研究其个周期上的图象，再利用周，根据的图象，作出的图象如图由图象可知，函数是偶函数，单调增区间为„函数式探究画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性解析由得，且，且，法，具体步骤是保留函数图象在轴上方的部分将函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折若函数为周期函数，可先研究其个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可变可知，单调递增区间为，，单调递减区间为，函数是偶函数周期为点评作函数的图象般利用图象变换方象图象研究性质解析由得，，其图象如图由图象，故单调增区间为，考点三正切函数的周期性奇偶性例画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性分析画图，上是增函数，由，的大小求函数的单调区间解析又在，求得的范围即可运用正切函数单调性比较大小的步骤运用诱导公式将角化到同单调区间内运用单调性比较大小关系变式探究若试比较，内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间对于求为常数的单调区间问题，可先由诱导公式把的系数化为正值，再由，且在，内是增函数点评正切函数在每个单调区间的周期为又显然，得函数的单调递减区间是，，函数把看作整体，代入相应的区间，解出的范围解可先把角化到个单调区间中，再利用单调性比较大小解析，由，考点二正切函数的单调性及应用例求函数的单调区间，并求其周期比较的大小分析解可先用诱导公式将的系数化为正数，再把，考点二正切函数的单调性及应用例求函数的单调区间，并求其周期比较的大小分析解可先用诱导公式将的系数化为正数，再把看作整体，代入相应的区间，解出的范围解可先把角化到个单调区间中，再利用单调性比较大小解析，由，得函数的单调递减区间是，，函数的周期为又显然，且在，内是增函数点评正切函数在每个单调区间内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间对于求为常数的单调区间问题，可先由诱导公式把的系数化为正值，再由，求得的范围即可运用正切函数单调性比较大小的步骤运用诱导公式将角化到同单调区间内运用单调性比较大小关系变式探究若试比较的大小求函数的单调区间解析又在，上是增函数，由，故单调增区间为，考点三正切函数的周期性奇偶性例画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性分析画图象图象研究性质解析由得，，其图象如图由图象可知，单调递增区间为，，单调递减区间为，函数是偶函数周期为点评作函数的图象般利用图象变换方法，具体步骤是保留函数图象在轴上方的部分将函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折若函数为周期函数，可先研究其个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可变式探究画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性解析由得，且，且，，根据的图象，作出的图象如图由图象可知，函数是偶函数，单调增区间为„函数的图象般利用图象变换方法，具体步骤是保留函数图象在轴上方的部分将函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折若函数为周期函数，可先研究其个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可变式探究画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性解析由得，且，且，，根据的图象，作出的图象如图由图象可知，函数是偶函数，单调增区间为„单调减区间为„，不具有周期性考点四与正切函数有关的值域问题例求函数，，的值域分析将看作个整体，用换元法转化为二次函数的值域问题解析设，，当即时，当，即时，函数值域为，点评换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后随即明确新元的范围变式探究若求函数的最值及相应的值解析，故当时，即时，取最小值当时，即时，取最大值新思维随堂自测函数的最小正周期是解析在中，故选答案函数的定义域是，，解析令，，得，即，答案函数的值域为，，解析，⊆的值域为，答案下列不等式中正确的是答案函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是解析由题意知，答案辨错解走出误区易错点对正切函数的单调性理解错误典例北大附中训练题求函数的定义域错解由题意，得解得，故原函数的定义域为，错因分析该解法错误地认为正切函数在整个定义域内是增函数，实际上，只在区间，上单调递增正解由题意，得解得，故原函数的定义域为，反思正切函数在每个单调区间内都是增函数，但不能说正切函数在整个定义域内是增函数目标导航掌握正切函数的性质重点能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图象难点能够利用正切函数的图象与性质解决问题重难点新知识预习探究知识点正切函数的性质阅读教材，完成下列问题练习正确的打，错误的打“”正切函数在整个定义域内是增函数存在个区间，使正切函数为减函数函数为奇函数，故对任意都有知识点二正切函数的图象阅读教材，完成下列问题函数，，的图象画法作直角坐标系，并在直角坐标系轴作单位圆左侧把单位圆右半圆分成等份，分别在单位圆中作出描点横坐标是个周期的等分点，纵坐标是相应的正切线连线正切线函数，，，的图象画法根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左右扩展，就可以得到正切函数，，，的图象，我们把它叫做正切曲线思考正切曲线与直线相交吗为什么正切曲线是中心对称图形吗对称中心是什么提示不会相交因为正切函数的定义域为，，所以正切曲线与直线不会相交，即正切曲线是由相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成的由函数图象知，正切曲线是中心对称图形，对称中心为练习函数在个周期内的图象是解析函数的周期为，排除项又当时排除项，故选答案新视点名师博客正切函数和正弦函数余弦函数的不同之处正切函数的定义域是且，，这与正弦函数余弦函数不同正切函数的最小正周期是，这与正弦函数余弦函数不同正切函数无单调减区间，在每个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间正切函数是奇函数，图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，正切函数的图象无对称轴，而正弦函数余弦函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形正切函数的定义域求与三角函数有关的函数定义域，对于自变量，必须满足使三角函数有意义例如，若函数含有，则，分式形式的分母不等于零偶次根式的被开方数不小于零三角函数定义域的求法求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求得其解集新课堂互动探究考点与正切函数有关的定义域问题例求函数的定义域分析首先列出使每个式子有意义的不等式组，然后解不等式组解析由题意得即在，内，满足上述不等式的的取值范围是，又的周期为，所以所求的范围是即为此函数的定义域点评求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组变式探究求函数的定义域解析由，即，故函数的定义域为，答案，考点二正切函数的单调性及应用例求函数的单调区间，并求其周期比较的大小分析解可先用诱导公式将的系数化为正数，再把看作整体，代入相应的区间，解出的范围解可先把角化到个单调区间中，再利用单调性比较大小解析，由，得函数的单调递减区间是，，函数的周期为又显然，且在，内是增函数点评正切函数在每个单调区间内都，考点二正切函数的单调性及应用例求函数的单调区间，并求其周期比较的大小分析解可先用诱导公式将的系数化为正数，再把看作整体，代入相应的区间，解出的范围解可先把角化到个单调区间中，再利用单调性比较大小解析，由，得函数的单调递减区间是，，函数的周期为又显然，且在，内是增函数点评正切函数在每个单调区间内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间对于求为常数的单调区间问题，可先由诱导公式把的系数化为正值，再由，求得的范围即可运用正切函数单调性比较大小的步骤运用诱导公式将角化到同单调区间内运用单调性比较大小关系变式探究若试比较的大小求函数的单调区间解析又在，上是增函数，由，故单调增区间为，考点三正切函数的周期性奇偶性例画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间奇偶性周期性分析画图象图象研究性质解析由得，，其图象如图由图象可知，单调递增区间为，，单调递减区间为，函数是偶函数周期为点评作函