中点因为是的中点，所以是三角形的中位线，分所以∥分因为⊂平面，⊄平面，所以∥平面分Ⅱ解作⊥于，所以⊥平面，所以在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系因为是的中点所以分所以设是平面的法向量，所以即令，则所以是平面的个法向量分由题意可知是平面的个法向量，分所以分所以二面角的大小为分Ⅲ解设，则，设平面的法向量，所以即令，则，分又，即，解得，所以存在点，使得平面⊥平面且分点评中，则与平面所成角的正弦值为分析由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角解答解的面积为故选点评本题要求我们将个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题分株洲模如图，在长方体，轴上的边长与原图形相等，而轴上的边长是原图形边长的半，由此不难得到平面图形的面积解答解设原图形为因此，问题，球的表面积体积，考查学生空间想象能力，是基础题如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是分析用斜二侧画法的法则，可知原图形是个两边分别在轴的直角三角形如图，正四棱锥底面的四个顶点，在球的同个大圆上，点在球面上，⊥底面所以球的表面积是，故选点评本题考查球的内接体的四个顶点在球的同个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为分析由题意可知，⊥平面，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积解答解当时，取的最大值故选点评考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值考查空间想象能力以及计算能力分四川如图，正四棱锥底面分析将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值解答解设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，则有∞点评本题考查了正四棱锥的结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是基础题目分新郑市校级模拟已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是值范围解答解如图所示，设正四棱锥底面中心为则，易知在中∈解得的取值范围是，∞，∞，∞分析从棱锥顶点向底面正方形中心引辅助线，该辅助线垂直底面，辅助线侧棱与正方形对角线的半构成直角三角形，侧棱为斜边根据直角三角形中的边角关系即可求出的取⊥，故正确④当三个平面两两垂直时，显然结论不成立，故④故选点评本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题正四棱锥的侧棱长是底面长的倍，则的取值范围是，∞断或举出反例说明解答解由于垂直于同个平面的两条直线平行，故正确设三棱柱的三个侧面分别为，其中两条侧棱为显然∥，但与不平行，故∥∥，当⊥时，若∩，∩，∥则∥若∥，∥，⊥，则⊥④若⊥，⊥，则∥其中正确命题的序号是④④分析根据空间线面位置关系的性质和判定定理判间直角坐标系距离公式等基础知识，考查点线面间的距离计算，考查空间想象力化归与转化思想属于基础题设，是不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题若⊥，⊥，则∥标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出到点的距离即可解答解的中点坐标为，又，到点的距离为故选点评本小题主要考查空空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目设，则的中点到点的距离为分析先由中点坐标公式求得的中点的空间直角坐标空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目设，则的中点到点的距离为分析先由中点坐标公式求得的中点的空间直角坐标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出到点的距离即可解答解的中点坐标为，又，到点的距离为故选点评本小题主要考查空间直角坐标系距离公式等基础知识，考查点线面间的距离计算，考查空间想象力化归与转化思想属于基础题设，是不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题若⊥，⊥，则∥若∩，∩，∥则∥若∥，∥，⊥，则⊥④若⊥，⊥，则∥其中正确命题的序号是④④分析根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明解答解由于垂直于同个平面的两条直线平行，故正确设三棱柱的三个侧面分别为，其中两条侧棱为显然∥，但与不平行，故∥∥，当⊥时，⊥，故正确④当三个平面两两垂直时，显然结论不成立，故④故选点评本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题正四棱锥的侧棱长是底面长的倍，则的取值范围是，∞，∞，∞，∞分析从棱锥顶点向底面正方形中心引辅助线，该辅助线垂直底面，辅助线侧棱与正方形对角线的半构成直角三角形，侧棱为斜边根据直角三角形中的边角关系即可求出的取值范围解答解如图所示，设正四棱锥底面中心为则，易知在中∈解得的取值范围是，∞点评本题考查了正四棱锥的结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是基础题目分新郑市校级模拟已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是分析将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值解答解设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，则有，当时，取的最大值故选点评考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值考查空间想象能力以及计算能力分四川如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为分析由题意可知，⊥平面，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积解答解如图，正四棱锥底面的四个顶点，在球的同个大圆上，点在球面上，⊥底面所以球的表面积是，故选点评本题考查球的内接体问题，球的表面积体积，考查学生空间想象能力，是基础题如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是分析用斜二侧画法的法则，可知原图形是个两边分别在轴的直角三角形，轴上的边长与原图形相等，而轴上的边长是原图形边长的半，由此不难得到平面图形的面积解答解设原图形为因此，的面积为故选点评本题要求我们将个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题分株洲模如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为分析由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角解答解以点为坐标原点，以所在的直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系图略，则，且为平面的个法向量，═与平面所成角的正弦值为故答案为点评此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这利用向量方法解决了抽象的立体几何问题分浙江二模正四面体的棱长为，其中线段∥平面分别是线段和的中点，当正四面体绕以为轴旋转时，线段在平面上的射影长的范围是分析取中点为，连接，根据四面体绕旋转时，∥平面，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时射影的长取得最小，当与平面平行时，取得最大，分别求出最大最小值，可得答案解答解如图，取中点为，连接分别是线段和的中点，∥，∥，在正四面体中，⊥，⊥当四面体绕旋转时，∥平面，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时，在平面上的射影长最短为，此时在平面上的射影的长取得最小值当与平面平行时，在平面上的射影长最长为，取得最大值，射影长的取值范围是故选点评本题借助考查线段在平面内的射影问题，考查空间直线与直线位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，分北京如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有个个个个分析建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出解答解建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长，则故所求几何体的表面积为分由，分分所以，旋转体的体积为分点评本题考查组合体的面积体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题分湖北模拟如图所示，⊥平面，是矩形，点是的中点，点在边上移动Ⅰ若，求证⊥Ⅱ若二面角的大小为，则为何值时，三棱锥的体积为分析Ⅰ证明⊥，只需证明⊥平面Ⅱ确定为二面角的个平面角，利用三棱锥的体积为，求出解答Ⅰ证明，为中点，⊥分又⊥平面，⊥分又是矩形，⊥分⊥平面，而⊂平面分⊥，⊥平面分而⊂平面，⊥分Ⅱ解由Ⅰ知⊥且⊥分为二面角的个平面角，则分分，解得分即时，三棱锥的体积为分点评本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直之间的转化，组合几何体的体积，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化是关键分春凉州区校级期末如图，边长为的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，⊥，且求证⊥平面求二面角的大小分析利用线面垂直的判定定理证明建立空间直角坐标，利用向量法求二面角的大小解答解四边形是正方形，所以⊥，⊥，平面⊥平，⊥平面，可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则是正方形的对角线的交点⊥，⊥，⊥平面设平面的法向量为，则且取，则，则又为平面的个法向量，且设二面角的平面角为，则，二面角等点评本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，运算量较大分石景山区模如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点Ⅰ求证∥平面Ⅱ求二面角的大小Ⅲ在线段上是否存在点，使得平面⊥平面，若存在，求出的长若不存在，说明理由分析Ⅰ连结交于，连结由已知条件得四边形是矩形，由三角形中位线能证明∥平面Ⅱ作⊥于，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的大小Ⅲ设，求出平面的法向量，利用向量法能求出存在点，使得平面⊥平面，且解答本小题满分分Ⅰ证明连结交于，连结因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点因为是的中点，所以是三角形的中位线，分所以∥分因为⊂平面，⊄平面，所以∥平面分Ⅱ解作⊥于，所以⊥平面，所以在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系因为是的中点所以分所以设是平面的法向量，所以即令，则所以是平面的个法向量分由题意可知是平面的个法向量，分所以