综上可得的取值范围是∞，∪，幂函数学习目标了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式结合幂函数的图象，掌握它们的性质能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小知识链接函数≠的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性增奇，∞在∞，上减偶在，∞上增≠≠在∞，上减奇在，∞上减预习导引幂函数的概念般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数幂函数的图象与性质幂函数图象定义域，∞∞，∪，∞值域，∞，∞即由可知比较下列各组中两个值的大小与与与与解幂函数在，∞上单调递增，且，幂函数在，∞增函数，故不合题意在，∞上为减函数，且为偶函数，故满足题意幂函数的图象经过点则满足的值等于答案解析设，由题意可知下列函数中，既是偶函数，又在区间，∞上单调递减的函数是答案解析由于和都是奇函数，故不合题意又虽为偶函数，但在，∞上为图象不过，点，故选项不正确幂函数的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项不正确当，∈时则幂函数的图象都不在第四象限，故选项正确下列幂函数中的图象关于原点对称，则在定义域上是增函数幂函数的图象不可能在第四象限答案解析当时，函数的定义域为≠，∈，其图象为两条射线，故选项不正确当时，函数的答案解析设，则有，解得，即，所以下列命题中正确的是当时，函数的图象是条直线幂函数的图象都经过两点若幂函数如果，幂函数在，∞上有意义，且是增函数如果，幂函数在处无意义，在，∞上是减函数基础达标已知幂函数的图象经过点则的值为律在第象限内直线的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小在直线的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小简单幂函数的性质所有幂函数在，∞上都有定义，并且当自变量为时，函数值为，即在，∞上是减函数，当时，不符合题意综上可知幂函数的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量幂函数在第象限内指数变化规，幂函数在，∞上是减函数，则实数答案解析为幂函数或当时，函数，又的定义域为，则，若，则的大小关系为答案解析在，∞上为增函数，即而，其定义域为，值域为，∞，故定义域与值域不同设∈则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为，答案解析可知当时，为奇函数是正比例函数，不是幂函数函数的底数不是自变量，不是幂函数函数是幂函数下列函数中，其定义域和值域不同的函数是答案解析是，∞上的增函数，下列函数是幂函数的是答案解析函数是指数函数，不是幂函数与解在，∞上是增函数且，是上的增函数，且是减函数，函数若指数不同而底数相同，则构造指数函数若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练比较下列各组数的大小与与，是，∞上的增函数，且即由幂函数的单调性，知，又是减函数从而规律方法比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数若指数相同而底数不同，则构造幂函，是，∞上的增函数，且即由幂函数的单调性，知，又是减函数从而规律方法比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数若指数相同而底数不同，则构造幂函数若指数不同而底数相同，则构造指数函数若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练比较下列各组数的大小与与与解在，∞上是增函数且，是上的增函数，且是减函数，是，∞上的增函数，下列函数是幂函数的是答案解析函数是指数函数，不是幂函数函数是正比例函数，不是幂函数函数的底数不是自变量，不是幂函数函数是幂函数下列函数中，其定义域和值域不同的函数是答案解析，其定义域为，值域为，∞，故定义域与值域不同设∈则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为，答案解析可知当时，为奇函数，又的定义域为，则，若，则的大小关系为答案解析在，∞上为增函数，即而，幂函数在，∞上是减函数，则实数答案解析为幂函数或当时，在，∞上是减函数，当时，不符合题意综上可知幂函数的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量幂函数在第象限内指数变化规律在第象限内直线的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小在直线的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小简单幂函数的性质所有幂函数在，∞上都有定义，并且当自变量为时，函数值为，即如果，幂函数在，∞上有意义，且是增函数如果，幂函数在处无意义，在，∞上是减函数基础达标已知幂函数的图象经过点则的值为答案解析设，则有，解得，即，所以下列命题中正确的是当时，函数的图象是条直线幂函数的图象都经过两点若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域上是增函数幂函数的图象不可能在第四象限答案解析当时，函数的定义域为≠，∈，其图象为两条射线，故选项不正确当时，函数的图象不过，点，故选项不正确幂函数的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项不正确当，∈时则幂函数的图象都不在第四象限，故选项正确下列幂函数中下列函数中，既是偶函数，又在区间，∞上单调递减的函数是答案解析由于和都是奇函数，故不合题意又虽为偶函数，但在，∞上为增函数，故不合题意在，∞上为减函数，且为偶函数，故满足题意幂函数的图象经过点则满足的值等于答案解析设，由题意可知即由可知比较下列各组中两个值的大小与与与与解幂函数在，∞上单调递增，且，幂函数在，∞上单调递增，且，幂函数在，∞上单调递减，且，幂函数在，∞上单调递减，且，二能力提升设，，，则的大小关系是答案解析函数在上是减函数，又，，即又函数在上是增函数，且，，即，函数的图象是答案解析方法代入选项验证即可方法二，利用函数图象的变换可知选若系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为同族函数那么函数解析式为，值域为，的同族函数共有个个个无数个答案解析值域为其定义域由，组成，有，共有种情况已知幂函数的图象过点，求的解析式若函数，求的定义域值域解设，则由题意可知，要使有意义，只需，即，解得的定义域为又，的值域为，∞三探究与创新已知幂函数，其中∈，∈，满足是区间，∞上的增函数对任意的∈，都有求同时满足，的幂函数的解析式，并求∈，时的值域解因为∈，∈，所以因为对任意∈，都有，即，所以是奇函数当时，只满足条件而不满足条件当时，条件都不满足当时，条件都满足，且在区间，上是增函数所以∈，时，函数的值域为，已知幂函数∈的图象关于轴对称，且在，∞上函数值随着的增大而减小，求满足，即时，必有，即，解得，即，此不等式组无解，综上可得的取值范围是∞，∪，幂函数学习目标了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式结合幂函数的图象，掌握它们的性质能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小知识链接函数≠的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性增奇，∞在∞，上减偶在，∞上增≠≠在∞，上减奇在，∞上减预习导引幂函数的概念般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数幂函数的图象与性质幂函数图象定义域，∞∞，∪，∞值域，∞，∞∈，且≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增∈，∞增增增∈，∞减∈∞，减∈∞，减定点，要点幂函数的概念例函数是幂函数，且当∈，∞时，是增函数，求的解析式解根据幂函数定义得解得或，当时，在，∞上是增函数，当时在，∞上是减函数，不合要求的解析式为规律方法本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出这等量关系，导致解题受阻幂函数∈中，为常数，系数为，底数为单的这是判断个函数是否为幂函数的重要依据和唯标准幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时定要分清，以防出错跟踪演练已知幂函数的图象经过点则答案解析由题意可知，即，要点二幂函数的图象例如图所示，图中的曲线是幂函数在第象限的图象，已知取四个值，则相应于，的依次为答案解析考虑幂函数在第象限内的增减性注意当时，对于，越大，增幅越快，时看的大小根据幂函数的性质，在第象限内的图象当时，越大，递增速度越快，故的，的，当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的，故选规律方法幂函数图象的特征在第象限内，直线的右侧，的图象由上到下，指数由大变小在第象限内，直线的左侧，的图象由上到下，指数由小变大当时，幂函数的图象都经过，和，点，在第象限内，当时，曲线上凸当时，曲线下凸当时，幂函数的图象都经过，点，在第象限内，曲线下凸跟踪演练如图是幂函数与在第象限内的图象，则，答案解析在，内取同值，作直线，与各图象有交点，如图所示根据点低指数大，有，要点三比较幂的大小例比较下列各组数中两个数的大小与与与与解是，∞上的增函数，且，是∞，上的减函数，且，，是，∞上的增函数，且即由幂函数的单调性，知，又是减函数从而规律方法比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数若指数相同而底数不同，则构造幂函数若指数不同而底数相同，则构造指数函数若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练比较下列各组数的大小与与与解在，∞上是增函数且，是上的增函数，且是减