的组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。

因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态中值定理的应用引言罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理，所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下特二〇〇七年八月十七日星期五拉格朗日中二〇〇七年八月十七日星期五拉格朗日中值定理的应用引言罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理，所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下特例推广以罗尔定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。

因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性凹凸性拐点取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

而拉格朗日中值定理作为其中个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的些重要应用，这是十分必要的。

罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式二〇〇七年八月十七日星期五拉格朗日中值定理及其证明定理内容若函数满足如下条件在闭区间，上连续在开区间，内可导则在，内至少存在点，使。

几何意义函数在区间，上的图形是连续光滑曲线弧上至少有点，曲线在点的切线平行于弦。

如图定理证明教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间，两端点的函数值相等，即，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理如果函数满足条件在闭区间，上连续在开区间，内可导，则在，内至少存在点，使得。

换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的个特殊情形。

所以，我们只须对函数作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理证明作辅助函数二〇〇七年八月十七日星期五显然，函数满足在闭区间，上连续，在开区间，内可导，而且于是由罗尔中值定理知道，至少存在点，使即用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数，显然，函数在闭区间，上连续，在开区间，内可导，。

因此，由罗尔中值定理得，至少存在点，，使得，即二拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式利用拉格朗日中值定理求极限证明级数收敛研究函数在区间上的性质估值等问题。

利用拉格朗日中值定理证明不等式例当时，证明。

证明做辅助函数。

函数在定义域，上可导，故对于，有在闭区间，上连续，在开区间，上可导。

则至少存在点，，使得，而，。

当时，有，即，又当时，有，二〇〇七年八月十七日星期五所以，即二拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式利用拉格朗日中值定理求极限证明级数收敛研究函数在区间上的性质估值等问题。

利用拉格朗日中值定理证明不等式例当时，证明。

证明做辅助函数。

函数在定义域，上可导，故对于，有在闭区间，上连续，在开区间，上可导。

则至少存在点，，使得，而，。

当时，有，即，又当时，有，二〇〇七年八月十七日星期五所以得证。

对于证明不等式，关键怎样构造函数，其后巧用拉格朗日中值定理，画龙点睛恰到好处。

例已知，证明，使得，而，。

当时，有，即，又当时，有，二〇〇七年八月十七。

证明做辅助函数。

函数在定义域，上可导，故对于，有在闭区间，上连续，在开区间，上可导。

则至少存在点，主要有以下几个方面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式利用拉格朗日中值定理求极限证明级数收敛研究函数在区间上的性质估值等问题。

利用拉格朗日中值定理证明不等式例当时，证明存在点，，使得，即二拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，数，显然，函数在闭区间，上连续，在开区间，内可导，。

因此，由罗尔中值定理得，至少于是由罗尔中值定理知道，至少存在点，使即用作差法引入辅助函数法证明作辅助函罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理证明作辅助函数二〇〇七年八月十七日星期五显然，函数满足在闭区间，上连续，在开区间，内可导，而且间，内可导，则在，内至少存在点，使得。

换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的个特殊情形。

所以，我们只须对函数作适当变形，便可借助日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间，两端点的函数值相等，即，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理如果函数满足条件在闭区间，上连续在开区点，使。

几何意义函数在区间，上的图形是连续光滑曲线弧上至少有点，曲线在点的切线平行于弦。

如图定理证明教材证法从拉格朗朗日定理柯西定理泰勒公式二〇〇七年八月十七日星期五拉格朗日中值定理及其证明定理内容若函数满足如下条件在闭区间，上连续在开区间，内可导则在，内至少存在值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

而拉格朗日中值定理作为其中个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的些重要应用，这是十分必要的。

罗尔定理拉格。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性凹凸性拐点取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分中值定理是沟通函数值与导数例推广以罗尔定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成得证。

对于证明不等式，关键怎样构造函数，其后巧用拉格朗日中值定理，画龙点睛恰到好处。

例已知，证明。

证明做辅助函数。

由于函数在，上连续可导，且，于是当时，在闭区间内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件。

所以，，使得。

有。

又在，上单调递减，所以当时，有，即转化成。

综合可得成立。

综上所得当，。

拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比较简单，其优势表现的淋漓尽致。

利用拉格朗日中值定理证明等式包含恒等式和等式例证科研生产教学学生自拟其它成果类别论文设计主要研究内容与研究目标在文章中我首先介绍了拉格朗日中值定理及其证明，并在此基础上深入研究并系统总结了其应用，包括利用拉格朗日中值定理证明等式不等式求极限证明级数收敛证明根的存在性估值研究函数性态等等指导教师签名年月日选题学生签名年月日系所或教研室审题意见负责人签名年月日学院审批意见学院学位分委员会主任签名年月日二〇〇七年八月十七日星期五表学生用山东师范大学本科毕业论文设计开题报告论文题目拉格朗日中值定理的应用学院名称数学科学学院专业信息与计算科学学生姓名任雯蕾学号指导教师范进军年月日二〇〇七年八月十七日星期五选题的性质基础应用的性质二选题的目的和意义拉格朗日中值定理是微分学上的重要基础定理之，是沟通导数及其函数之间关系的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具，从拉格朗日中值定理的思想出发，学习构造辅助函数的方法，对于进步学习数学有深远意义。

三与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面研究现状课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多学者也只是研究了方面的应用，并没有进行深入系统的总结。

有所创新的方面先给出拉格朗日中值定理的本质，深入了解拉格朗日中值定理及其证明过程，并在此基础上总结它的广泛应用及其重要作用。

四课题研究的可行性分析大学期间，我们学习了数学分析数学学分析方法等课程，并在论文准备期间阅读了很多关于这方面的资料，为我在这个课题上能够获得成绩打下了坚实