，则动点的轨迹方程是解析由，又，设则，即点坐标为又在椭圆上，则有，即方法思想分类讨论思想判断方程所表示的曲线类型已知的两个顶点，的坐标分别是且，所在直线的斜率之积等于求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线解设顶点由题意，知，化简得当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点当时，轨迹表示以，为圆心，半径是的圆，且除去，两点当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点当时，轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去，两点名师点评由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，般情况下，根据，的系数与的关系及两者之间的大小关系进大连市双基测试已知为坐标原点是椭圆上的点，且，设动点满足求动点的轨迹的方程若直线与故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的下支又,故点的轨迹方程为考点三利用相关点法代入法求轨迹方程或进行限制已知以为个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另个焦点的轨迹方程是什么解由题意知，又轨迹方程时，若所求的轨迹符合种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆椭圆双曲线抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量由椭圆的定义可知，曲线是以，为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆左顶点除外，其方程为规律方法定义法求轨迹方程在利用圆锥曲线的定义求考点二定义法求轨迹方程解由已知得圆的圆心为半径圆的圆心为半径设圆的圆心为半径为因为圆与圆外切并且与圆内切，所以得故动点的轨迹方程为高考课标全国卷Ⅰ节选已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线求的方程的斜率之积等于求动点的轨迹方程解因为点与点，关于原点对称所以点的坐标为，设点的坐标为由题设知直线与的斜率存在且均不为零，则，化简程为在平面直角坐标系中，点与点，关于原点对称，是动点，且直线与的斜在平面直角坐标系中，点与点，关于原点对称，是动点，且直线与角坐标系，则，设因为，所以两边平方，得整理，得，即故动点的轨迹方已知，动点满足，则动点的轨迹方程为解析如图所示，以的中点为原点，直线为轴建立如图所示的平面直坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性⇒，和的距离的最小值为点与的距离的最小值为规律方法直接法求曲线方程的般步骤建立合理的直角坐标系设出所求曲线上点的，由已知得，化简得，即点的轨迹方程是椭圆设将其代入椭圆方程消去，化简得若动点满足求动点的轨迹的方程设是曲线上任意点，求到直线的距离的最小值曲线与方程解设动点则，程是求轨迹方程的种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度明确给出等式，求轨迹方程给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程已知的轨迹方程是考点直接法求轨迹方程高频考点考点二定义法求轨迹方程考点三利用相关点法代入法求轨迹方程考点直接法求轨迹方程高频考点直接法求点的轨迹方程的轨迹方程是考点直接法求轨迹方程高频考点考点二定义法求轨迹方程考点三利用相关点法代入法求轨迹方程考点直接法求轨迹方程高频考点直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度明确给出等式，求轨迹方程给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程已知若动点满足求动点的轨迹的方程设是曲线上任意点，求到直线的距离的最小值曲线与方程解设动点则由已知得，化简得，即点的轨迹方程是椭圆设将其代入椭圆方程消去，化简得⇒，和的距离的最小值为点与的距离的最小值为规律方法直接法求曲线方程的般步骤建立合理的直角坐标系设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性已知，动点满足，则动点的轨迹方程为解析如图所示，以的中点为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设因为，所以两边平方，得整理，得，即故动点的轨迹方程为在平面直角坐标系中，点与点，关于原点对称，是动点，且直线与的斜在平面直角坐标系中，点与点，关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程解因为点与点，关于原点对称所以点的坐标为，设点的坐标为由题设知直线与的斜率存在且均不为零，则，化简得故动点的轨迹方程为高考课标全国卷Ⅰ节选已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线求的方程考点二定义法求轨迹方程解由已知得圆的圆心为半径圆的圆心为半径设圆的圆心为半径为因为圆与圆外切并且与圆内切，所以由椭圆的定义可知，曲线是以，为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆左顶点除外，其方程为规律方法定义法求轨迹方程在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆椭圆双曲线抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制已知以为个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另个焦点的轨迹方程是什么解由题意知，又故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的下支又,故点的轨迹方程为考点三利用相关点法代入法求轨迹方程大连市双基测试已知为坐标原点是椭圆上的点，且，设动点满足求动点的轨迹的方程若直线与曲线交于，两点，求三角形面积的最大值解设点则由，得即，因为点，在椭圆上，所以，故由题意知所以将曲线与直线的方程联立得，消去得因为直线与曲线交于，两点，设所以，又，所以又点到直线的距离所以，当且仅当，即时取等号所以三角形面积的最大值为规律方法相关点法求轨迹方程的般步骤为设点设动点坐标为已知轨迹的点的坐标为求关系式求出两点坐标之间的关系式，代换将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程是椭圆上的任意点是它的两个焦点，为坐标原点则动点的轨迹方程是解析由，又，设则，即点坐标为又在椭圆上，则有，即方法思想分类讨论思想判断方程所表示的曲线类型已知的两个顶点，的坐标分别是且，所在直线的斜率之积等于求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线解设顶点由题意，知，化简得当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点当时，轨迹表示以，为圆心，半径是的圆，且除去，两点当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点当时，轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去，两点名师点评由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，般情况下，根据，的系数与的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由于，而与的系数相等时，故分，四种情形进行讨论已知，为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是圆椭圆抛物线双曲线解析以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立坐标系图略，设则，因为，所以，即，当时，是圆的轨迹方程当且时，是椭圆的轨迹方程当时，是双曲线的轨迹方程当时，是直线的轨迹方程综上，方程不表示抛物线的方程第讲曲线与方程第八章平面解析几何曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线看作满足种条件的点的集合或轨迹上的点与个二元方程的实数解建立了如下的关系曲线上点的坐标都是以这个方程的解为坐标的点都在那么,这个方程叫做曲线的方程这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上曲线的交点设曲线的方程为曲线的方程为则，的交点坐标即为方程组，的，若此方程组无解，则两曲线无交点实数解做做方程表示的曲线是个点条直线两条直线个点和条直线解析方程变为，则或，故方程表示直线和直线若，为两个定点，且，动点满足，则点的轨迹是圆椭圆双曲线抛物线辨明两个易误点轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状位置大小等特征，后者指方程包括范围求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响求动点的轨迹方程的般步骤建系建立适当的坐标系设点设轨迹上的任点列式列出动点所满足的关系式代换依条件式的特点，选用距离公式斜率公式等将其转化为关于，的方程式，并化简证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程做做平面上有三个不同点若⊥，则动点的轨迹方程为解析由⊥，得，即，动点的轨迹方程为解析设则代入双曲线方程得设为双曲线上动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是考点直接法求轨迹方程高频考点考点二定义法求轨迹方程考点三利用相关点法代入法求轨迹方程考点直接法求轨迹方程高频考点直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度明确给出等式，求轨迹方程给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程已知若动点满足求动点的轨迹的方程设是曲线上任意点，求到直线的距离的最小值曲线与方程解设动点则由已知得，化简得，即点的轨迹方程是椭圆设将其代入椭圆方程消去，化简得⇒，和的距离的最小值为点与的距离的最小值为规律方法直接法求曲线方程的般步骤建立合理的直角坐标系设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性已知，动点满足，则动点的轨迹方程为解析如图所示，以的中点为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐的轨迹方程是考点直接法求轨迹方程高频考点考点二定义法求轨迹方程考点三利用相关点法代入法求轨迹方程考点直接法求轨迹方程高频考点直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度明确给出等式，求轨迹方程给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程已知若动点满足求动点的轨迹的方程设是曲线上任意点，求到直线的距离的最小值曲线与方程解设动点则由已知得，化简得，即点的轨迹方程是椭圆设将其代入椭圆方程消去，化简得⇒，和的距离的最小值为点与的距离的最小值为规律方法直接法求曲线方程的般步骤建立合理的直角坐标系设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性已知，动点满足，则动点的轨迹方程为解析如图所示，以的中点为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设因为，所以两边平方，得整理，得，即故动点的轨迹方程为在平面直角坐标系中，点与点，关于原点对称，是动点，且直线与的斜程是求轨迹方程的种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度明确