解析，，„，，，所以原式„第讲函数的奇偶性及周期性第二章基本初等函数导数及其应用函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有,那么函数是偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有,那么函数是奇函数关于对称轴原点周期性周期函数对于函数，如果存在个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期最小最小做做高考重庆卷下列函数为偶函数的是高考四川析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程组，从而得到的解析式已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法利用规律方法与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解，为奇函数故原函数是偶函数函数的定义域为当时是偶函数当时，，且易知函数的定义域为，，，关于原点对称，又当时则当时故当时则当时故数，也不是偶函数由，得且，的定义域为，关于原点对称，是奇函数解函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断判断下列函数的奇偶性当时也满足故该函数为奇函数规律方法判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法图象法分段函数奇偶性的判断，要注既是奇函数又是偶函数栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用函数奇偶性的判断的定义域为，关于原点对称，当时当时并且对于定义域内的任意个都有，从而函数为奇函数的定义域为关于原点对称又考点二判定函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解原函数的定义域为，关于原点对称期函数又即，，当，时,求证是周期函数当，时，求的解析式解证明，是周期为的周明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，其他条件不变，结果如何解，，规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证，又是奇函数，，若本例中“奇函数”变为“偶函数”又是奇函数，，若本例中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件不变，结果如何解，，规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当，时,求证是周期函数当，时，求的解析式解证明，是周期为的周期函数又即，，考点二判定函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解原函数的定义域为，关于原点对称，并且对于定义域内的任意个都有，从而函数为奇函数的定义域为关于原点对称又既是奇函数又是偶函数栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用函数奇偶性的判断的定义域为，关于原点对称，当时当时当时也满足故该函数为奇函数规律方法判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法图象法分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断判断下列函数的奇偶性解函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数由，得且，的定义域为，关于原点对称，是奇函数易知函数的定义域为，，，关于原点对称，又当时则当时故当时则当时故，故原函数是偶函数函数的定义域为当时是偶函数当时，，且，为奇函数，规律方法与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程组，从而得到的解析式已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法利用得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另对称区间上的图象及判断另区间上的单调性唐山高三年级统考试是上的奇函数，当时则当时石家庄市第次模拟已知是定义在上的以为周期的偶函数，若则实数的取值范围为高考课标全国卷Ⅱ偶函数的图象关于直线对称则解析当是上的奇函数，当时是定义在上的周期为的偶函数，即，解得，故选的图象关于直线对称，即是偶函数考题溯源对函数的再理解高考湖北卷为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为奇函数偶函数增函数周期函数解析当，时，画出函数图象图略，再左右扩展知为周期函数考题溯源本考题源于教材人教版必修习题组，“函数的函数值表示不超过的最大整数，例如当，时，写出函数的解析式，并作出函数的图象”的变式高考陕西卷设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有解析选项，取，则显然选项，取，则选项，取，则显然已知表示不超过实数的最大整数，如定义，则„解析，，„，，，所以原式„第讲函数的奇偶性及周期性第二章基本初等函数导数及其应用函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有,那么函数是偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有,那么函数是奇函数关于对称轴原点周期性周期函数对于函数，如果存在个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期最小最小做做高考重庆卷下列函数为偶函数的是高考四川卷设是定义在上的周期为的函数，当，时，，则解析函数的周期是，所以，根据题意辨明三个易误点应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内判断函数的奇偶性,易忽视函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的个必要条件判断函数是奇函数，必须对定义域内的每个，均有，而不能说存在使，对于偶函数的判断以此类推活用周期性三个常用结论对定义域内任自变量的值若，则若，则若，则做做已知定义在上的奇函数满足，则的值为解析由，则，已知是定义在，上的偶函数，那么的值是解析是定义在，上的偶函数又考点函数的周期性考点二判定函数的奇偶性考点三函数奇偶性的应用高频考点考点函数的周期性已知函数是定义域为的偶函数，且，若在，上是减函数，那么在，上是增函数减函数先增后减的函数先减后增的函数高考安徽卷若函数是周期为的奇函数，且在，上的解析式为，则解析由题意知，所以的周期为，又函数是定义域为的偶函数，且在，上是减函数，则在，上是增函数，所以在，上是增函数是以为周期的奇函数，，当时当时又是奇函数，，若本例中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件不变，结果如何解，，规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当，时,求证是周期函数当，时，求的解析式解证明，是周期为的周期函数又即，，考点，又是奇函数，，若本例中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件不变，结果如何解，，规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当，时,求证是周期函数当，时，求的解析式解证明，是周期为的周期函数又即，，考点二判定函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解原函数的定义域为，关于原点对称，并且对于定义域内的任意个都有，从而函数为奇函数的定义域为关于原点对称又既是奇函数又是偶函数栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用函数奇偶性的判断的定义域为，关于原点对称，当时当时当时也满足故该函数为奇函数规律方法判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法图象法分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断判断下列函数的奇偶性解函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数由，得且，的定义域为，关于原点对称，是奇函数易知函数的定义域为，，，关于原点对称，又当时则当时故当时则当时故，故原函数是偶函数函数的定义域为当时是偶函数当时，，且其他条件不变，结果如何解，，规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证当，时,求证是周期函数当，时，求的解析式解证明，是周期为的周考点二判定函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解原函数的定义域为，关于原点对称既是奇函数又是偶函数栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用函数奇偶性的判断的定义域为，关于原点对称，当时当时，意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断判断下列函数的奇偶性数，也不是偶函数由，得且，的定义域为，关于原点对称，是奇函数，故原函数是偶函数函数的定义域为当时是偶函数当时，，且规律方法与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解解析，，„，，，所以原式„第讲函数的奇偶性及周期性第二章基本初等函数导数及其应用函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有