线平行，则先证线面垂直，即证⊥平面解析为正方形，⊥又⊥平面⊥∩，⊥平面又⊥平面，点评若已知条直线和个平面垂直，证明这条直线和另条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形，平行四边形及三角形中位线的有关性质变式探究如图，正方体中，与异面直线，都垂直相交求证证明连接如图所示⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面⊥同理⊥，又∩，⊥平面⊥，且，⊥又⊥，∩，⊥平面考点二面面垂直性质定理的应用例如图所示，是四边形所在平面外的点，是且边长为的菱形侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面若为边的中点，求证⊥平面求证如果平面⊥平面，平面⊥平面，∩，那么⊥平面如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于，≌，取⊥平面⊂平面⇒⊥答案下列说法错误的是如果平面⊥平面，那么平面内定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内定不存在直线垂直于平面二个平面内的条直线与第个平面垂直，则在第个平面内的任意条直线都与垂直答案在正方体中，若是的中点，则直线垂直于解析个平面互相垂直，在第个平面内的条直线垂直于第二个平面内的条直线，那么直线垂直于第二个平面直线垂直于第个平面直线不定垂直于第二个平面过的平面必垂直于过的平面解析若第在平面内，平面⊥平面，即平面⊥平面，⊥平面，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面新思维随堂自测若两≌，取的中点，连结则且，，，点在平面内⊥平面，⊥又⊥，⊥平面明取的中点，连结⊥平面，⊂平面，⊥，易知，⊥在和中平行垂直关系有机结合变式探究如图所示，为正三角形，⊥平面，，且，是的中点求证平面⊥平面平面⊥平面证，为的中点，⊥且∩，⊥平面又⊂平面平面⊥平面点评线线线面面面垂直关系的综合应用主要体现了垂直的转化，同时利用平行过渡使，⊥又侧面是正三角形，且为中点，⊥，⊥平面又，⊥平面由知⊥平面，又⊂平面，⊥又又是的中点，点为的中点綊又为的中点，綊四边形为平行四边形，且⊂平面平面四边形是边长为的菱形，且⊥面利用可证⊥面解析，⊂平面，⊄平面，平面又平面∩平面，又，，是的中点，过三点的平面交于，为的中点求证平面⊥平面平面⊥平面分析证明由可证，⊂平面，⊥平面，⊥考点三线线线面面面垂直的综合应用例如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为的菱形，求证⊥证明在平面内，过点作⊥于平面⊥平面，且交线为，⊥平面⊥⊥平面，⊥∩，且⊂平面直应用面面垂直的性质定理，注意以下三点两个平面垂直是前提条件直线必须在其中个平面内直线必须垂直于它们的交线变式探究如图，已知是外点，⊥平面，平面⊥平面是正三角形⊥又∩，⊥平面由可知⊥，⊥⊥平面⊥点评已知面面垂直，可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直线线垂直是正三角形⊥又∩，⊥平面由可知⊥，⊥⊥平面⊥点评已知面面垂直，可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意以下三点两个平面垂直是前提条件直线必须在其中个平面内直线必须垂直于它们的交线变式探究如图，已知是外点，⊥平面，平面⊥平面求证⊥证明在平面内，过点作⊥于平面⊥平面，且交线为，⊥平面⊥⊥平面，⊥∩，且⊂平面，⊂平面，⊥平面，⊥考点三线线线面面面垂直的综合应用例如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为的菱形，，是的中点，过三点的平面交于，为的中点求证平面⊥平面平面⊥平面分析证明由可证⊥面利用可证⊥面解析，⊂平面，⊄平面，平面又平面∩平面，又，又是的中点，点为的中点綊又为的中点，綊四边形为平行四边形，且⊂平面平面四边形是边长为的菱形，且，⊥又侧面是正三角形，且为中点，⊥，⊥平面又，⊥平面由知⊥平面，又⊂平面，⊥又，为的中点，⊥且∩，⊥平面又⊂平面平面⊥平面点评线线线面面面垂直关系的综合应用主要体现了垂直的转化，同时利用平行过渡使平行垂直关系有机结合变式探究如图所示，为正三角形，⊥平面，，且，是的中点求证平面⊥平面平面⊥平面证明取的中点，连结⊥平面，⊂平面，⊥，易知，⊥在和中≌，取的中点，连结则且，，，点在平面内⊥平面，⊥又⊥，⊥平面在平面内，平面⊥平面，即平面⊥平面，⊥平面，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面新思维随堂自测若两个平面互相垂直，在第个平面内的条直线垂直于第二个平面内的条直线，那么直线垂直于第二个平面直线垂直于第个平面直线不定垂直于第二个平面过的平面必垂直于过的平面解析若第二个平面内的条直线与第个平面垂直，则在第个平面内的任意条直线都与垂直答案在正方体中，若是的中点，则直线垂直于解析⊥平面⊂平面⇒⊥答案下列说法错误的是如果平面⊥平面，那么平面内定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内定不存在直线垂直于平面如果平面⊥平面，平面⊥平面，∩，那么⊥平面如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于，≌，取的中点，连结则且，，，点在平面内⊥平面，⊥又⊥，⊥平面在平面内，平面⊥平面，即平面⊥平面，⊥平面，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面新思维随堂自测若两个平面互相垂直，在第个平面内的条直线垂直于第二个平面内的条直线，那么直线垂直于第二个平面直线垂直于第个平面直线不定垂直于第二个平面过的平面必垂直于过的平面解析若第二个平面内的条直线与第个平面垂直，则在第个平面内的任意条直线都与垂直答案在正方体中，若是的中点，则直线垂直于解析⊥平面⊂平面⇒⊥答案下列说法错误的是如果平面⊥平面，那么平面内定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内定不存在直线垂直于平面如果平面⊥平面，平面⊥平面，∩，那么⊥平面如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析如图，平面⊥平面，∩，直线在平面内，且，所以，可知正确错误若平面内存在垂直于平面的直线，根据面面垂直的判定定有平面⊥平面，与前提矛盾，所以正确答案如图，正方形中，分别是的中点，现在沿把这个正方形折成个四面体，使重合，重合后的点记为给出下列关系⊥平面⊥平面⊥⊥平面其中成立的有与与与与解析由⊥，⊥，得⊥平面，排除若⊥平面，则，这与∩矛盾，排除，故选答案如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，是等边三角形，已知，是上的点，证明平面⊥平面证明在中，⊥又平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面辨错解走出误区易错点由两个平面垂直，错误地认为过其中个平面的点且垂直于交线的直线必垂直于另个平面，而忽略了“这条直线要在已知的个平面内”这重要条件典例判断下列命题的真假两个平面垂直，过其中个平面内点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另个平面两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，定分别与另平面垂直两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直错解真命题真命题真命题错因分析若所作直线不在此平面内，则命题是错误的如图，正方体中，平面⊥平面，平面∩平面，在上取点，连接，则⊥即过棱上点的直线与棱垂直，但与平面不垂直，其错误的原因是没有保证在平面内，可以看出“直线在平面内”这条件的重要性该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体中，平面⊥平面，⊂平面，⊂平面，且⊥，即与互相垂直，但与平面不垂直在正方体中，平面⊥平面，⊂平面，⊂平面，与所成角为，即与不垂直图图正解假命题假命题假命题目标导航理解直线与平面平面与平面垂直的性质定理重点能应用直线与平面平面与平面的性质定理证明空间中线面垂直关系重点理解线线垂直线面垂直面面垂直的内在联系难点新知识预习探究知识点直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同个平面的两条直线平行符号语言⊥⊥⇒图形语言作用证明两条直线平行练习已知直线⊥平面，直线⊂平面，有下面四个命题⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒其中，正确的命题有解析⊥⇒⊥⊂⇒⊥，正确⊥⇒⊥⊂⇒⊥，正确答案知识点二平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直符号语言⊥∩⊂⊥⇒⊥图形语言作用证明直线与平面垂直练习如图，⊥所在的平面，是的直径，是上的点，点，分别是点在，上的射影下列结论⊥⊥⊥⊥平面其中正确的是答案新视点名师博客直线与平面垂直的其他性质如果条直线垂直于个平面，那么它就垂直于这个平面内的任意条直线即⊥⊂⇒⊥垂直于同条直线的两个平面平行即⊥⊥⇒两条平行线中的条垂直于个平面，另条也垂直于这个平面即⊥⇒⊥如果条直线垂直于两个平行平面中的个，则它必垂直于另个平面即⊥⇒⊥线线垂直线面垂直面面垂直的联系剖析平面与平面垂直的性质定理定理成立的条件有两个两平面垂直直线在其中个面内且与两平面的交线垂直定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直或线线垂直定理还说明了若两个平面垂直，过其中个平面内点垂直于另个平面的直线必在第个平面内解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直新课堂互动探究考点线面垂直性质定理的应用例如图所示，在正方体中，是上点，是的中点，⊥平面求证分析要证线线平行，则先证线面垂直，即证⊥平面解析为正方形，⊥又⊥平面⊥∩，⊥平面又⊥平面，点评若已知条直线和个平面垂直，证明这条直线和另条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形，平行四边形及三角形中位线的有关性质变式探究如图，正方体中，与异面直线，都垂直相交求证证明连接如图所示⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面⊥同理⊥，又∩，⊥平面⊥，且，⊥又⊥，∩，⊥平面考点二面面垂直性质定理的应用例如图所示，是四边形所在平面外的点，是且边长为的菱形侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面若为边的中点，求证⊥平面求证⊥分析由题目可获取以下主要信息四边形是边长为的菱形面⊥面解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进步得出线⊥线证明连结，由题知为正三角形，是的中点，⊥又平面⊥平面，⊥平面⊥又四边形是菱形且，是正三角形⊥又∩，⊥平面由可知⊥，⊥⊥平面⊥点评已知面面垂直，可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意以下三点两个平面垂直是前提条件直线必须在其中个平面内直线必须垂直于它们的交线变式探究如图，已知是外点，⊥平面，平面⊥平面求证⊥证明在平面内，过点作⊥于平面⊥平面，且交线为，⊥平面⊥⊥平面，⊥∩，且⊂平面，⊂平面，⊥平面，⊥考点三线线线面面面垂直的综合应用例如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为的菱形，，是的中点，过三点的平面交于，为的中点求证平面⊥平面平面⊥平面分析证明由可证⊥是正三角形⊥又∩，⊥平面由可知⊥，⊥⊥平面⊥点评已知面面垂直，可考虑利用面面