，当且仅当，即时等号成立，此时，，当时，的最大值为答案跟踪训练设为正实数，满足，则的最小值是解析由，可得所以，当且仅当时取名师指导必明个易误点求最值时要注意三点是各项为正二是寻求定值三是考虑等号成立的条件多次使用基本不等式时，易忽视取等号时的条件的致性必会种方法活用几个重要的不等式，，同号，，巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件第六章不等式第四节基本不等式考情展望利用基本不等式求最值证明不等式利用基本不等式解决实际问题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理基本不等式习围场模首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为种可利用的化工产品已知该单位每月的该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值名师归纳类题练熟好题研有最小值，综上，,时，旅游日收益的最小值为万元注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问题时，定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在式求该城市旅游日收益的最小值解析，当时，取得最小值当,时，因为递减，所以时，以天计，第天的旅游人数万人近似地满足，而人均消费元近似地满足求该城市的旅游日收益万元与时间，的函数关系，当且仅当，且时等号成立，的最小值为考点三基本不等式的实际应用师生共研型调研济宁育才中学期中城市旅游资源丰富，经调查，在过去的个月内又，则，得，当且仅当时，等号成立所以的最小值为由，得，则，于是由恒成立，得，即故的最大值为济南模拟已知，且，求的最小值的最小值解由，得等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解已知，若恒成立，则实数的最大值是答案好题研习解析由，得具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不为“正二定三相等”合理拆分项或配凑因式或的代换是常用技巧，目的是构造出基本不等式的框架形式当多次使用基本不等式时，要保证等号能同时取得名师归纳类题练熟两个正数的和与积的转化基本不等式恒成立，可知解得基本不等式求最值的转化利用基本不等式求最值需关注以下三个方面各数式均为正和或积为定值等号能否成立这三个条件缺不可，为便于记忆，简述，并且恒成立，则实数的取值范围是答案,解析，当且仅当，即时等号成立由，当且仅当时等号成立，因此，所以故选长春调研若两个正实数，满足时，取等号考点二利用基本不等式求最值师生共研型调研山东设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为答案解析，，当且仅当当时，常见结论好题研习已知，且求证证明，且当时，常见结论好题研习已知，且求证证明，且，，当且仅当时，取等号考点二利用基本不等式求最值师生共研型调研山东设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为答案解析，当且仅当时等号成立，因此，所以故选长春调研若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是答案,解析，当且仅当，即时等号成立由恒成立，可知解得基本不等式求最值的转化利用基本不等式求最值需关注以下三个方面各数式均为正和或积为定值等号能否成立这三个条件缺不可，为便于记忆，简述为“正二定三相等”合理拆分项或配凑因式或的代换是常用技巧，目的是构造出基本不等式的框架形式当多次使用基本不等式时，要保证等号能同时取得名师归纳类题练熟两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解已知，若恒成立，则实数的最大值是答案好题研习解析由，得，于是由恒成立，得，即故的最大值为济南模拟已知，且，求的最小值的最小值解由，得又，则，得，当且仅当时，等号成立所以的最小值为由，得，则，当且仅当，且时等号成立，的最小值为考点三基本不等式的实际应用师生共研型调研济宁育才中学期中城市旅游资源丰富，经调查，在过去的个月内以天计，第天的旅游人数万人近似地满足，而人均消费元近似地满足求该城市的旅游日收益万元与时间，的函数关系式求该城市旅游日收益的最小值解析，当时，取得最小值当,时，因为递减，所以时，有最小值，综上，,时，旅游日收益的最小值为万元注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问题时，定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值名师归纳类题练熟好题研习围场模首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低该单位每月能否获利如果获利，求出最大利润如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损解由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元。不获利设该单位每月获利为元，则，因为所以，故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴元才能不亏损名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优思想方法消元思想在基本不等式求最值中的应用所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少，逐解决的思想方法由于应用基本不等式求最值时需满足三个条件正二定三相等，且只限于“二元”范畴之内，故对于多元求最值问题可采用消元思想，转化为“二元”问题典例山东设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为答案解析当且仅当，即时等号成立，此时，，当时，的最大值为答案跟踪训练设为正实数，满足，则的最小值是解析由，可得所以，当且仅当时取名师指导必明个易误点求最值时要注意三点是各项为正二是寻求定值三是考虑等号成立的条件多次使用基本不等式时，易忽视取等号时的条件的致性必会种方法活用几个重要的不等式，，同号，，巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件第六章不等式第四节基本不等式考情展望利用基本不等式求最值证明不等式利用基本不等式解决实际问题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数，的，称为正数，的算术平均数几何平均数利用基本不等式求最值两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，为正实数，且，为定值，则，等号当且仅当时成立简记和定积最大两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，为正实数，且，为定值，则，等号当且仅当时成立简记积定和最小基本不等式的变形，，，基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”函数的最小值是成立的条件是且是的充要条件若，则的最小值为“且”是成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析由且可推出，反之则不能推出，故选已知，则取得最大值时的值为解析，当且仅当，即时等号成立上海若实数，满足，则的最小值为答案解析已知，，，若，则的最小值为若，则的最大值为答案解析由基本不等式，得，当且仅当时取到等号，当且仅当时取到等号试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点利用基本不等式证明不等式师生共研型调研太原模拟设求证证明，即，，当且仅当时取等号名师归纳类题练熟基本不等式的变形在基本不等式及其些变形形式中，可以将字母，换成其他的数字母代数式等，只要这些数字母代数式符合不等式成立的条件，那么得到的不等式也是成立的，由此可以得到些常用的不等式，例如，当时当时当时，常见结论好题研习已知，且求证证明，且，，当且仅当时，取等号考点二利用基本不等式求最值师生共研型调研山东设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为答案解析，当且仅当时等号成立，因此，所以故选长春调研若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是答案,解析，当且仅当，即时等号成立由恒当时，常见结论好题研习已知，且求证证明，且，，当且仅当时，取等号考点二利用基本不等式求最值师生共研型调研山东设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为答案解析，当且仅当时等号成立，因此，所以故选长春调研若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是答案,解析，当且仅当，即时等号成立由恒成立，可知解得基本不等式求最值的转化利用基本不等式求最值需关注以下三个方面各数式均为正和或积为定值等号能否成立这三个条件缺不可，为便于记忆，简述为“正二定三相等”合理拆分项或配凑因式或的代换是常用技巧，目的是构造出基本不等式的框架形式当多次使用基本不等式时，要保证等号能同时取得名师归纳类题练熟两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解已知，若恒成立，则实数的最大值是答案好题研习解析由，得，于是由恒成立，得，即故的最大值为济南模拟已知，且，求的最小值的最小值解由，得又，则，得，当且仅当时，等号成立所以的最小值为由，得，则，当且仅当，且时等号成立，的最小值为考点三基本不等式的实际应