为实数，则，当且仅当时等号成立设，„，„，都是实数，则„„„，当且仅当„，或存在个数，使得„，时，等号成立柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立不等式的解集是，，，，，基础训练解析同解于，不等式的解集是,,解析由，得，即，所以或，故解集为,,若不等式的解集为，则实数答案解析由，得，即不等式的解集为，故必有，即的即，当且仅当时，等号成立综上当且仅当时，等号成立所以的最小值为用柯西不等式求最大小值，要创造使用定理的逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于的方程不等式恒成立，常转化为求函数，当且仅当时，等号成立根据柯西不等式，得，因为，所以故，当且仅当，时等号成立所以的最小值为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优又因为，所以当且仅当时取等号由三个正数的平均值不等式，得求的最小值解证明因为，所以由柯西不等式，得用柯西不等式求最大小值，要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件用柯西不等式求最大小值的关键是构造其特征名师归纳类题练熟好题研习已知正数满足求证时，等号成立根据柯西不等式，得即，当且仅当时，等号成立综上当且仅当时，等号成立所以的最小值为仅当，即时等号成立因为，所以根据平均值不等式，得，当且仅当证求的最小值解析证明根据柯西不等式，得，当且，要使有解，可使好题研习考点三柯西不等式的应用师生共研型调研已知正数满足求，亦可由点，到直线的距离求解若存在实数使成立，则实数的取值范围是答案,解析不等式的可加性可得的最大值为考点二绝对值三角不等式的应用师生共研型名师归纳类题练熟利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到等号的条件若注意到当且仅当，时，取最大值解法二又，从而由同向讨论所得的不等式在这个区间上的解集这些解集的并集就是原不等式的解集调研对于实数若则的最大值为答案解析解法，型不等式的解法令每个绝对值符号里的次式为，求出相应的根把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，对任意的都成立，即有，因此，由不等式的解集不是空集可得，实数的取值范围是，自我感悟解题规律则实数的取值范围是答案，解析注意到，若不等式的解集是空集，则有则实数的取值范围是答案，解析注意到，若不等式的解集是空集，则有对任意的都成立，即有，因此，由不等式的解集不是空集可得，实数的取值范围是，自我感悟解题规律，型不等式的解法令每个绝对值符号里的次式为，求出相应的根把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集这些解集的并集就是原不等式的解集调研对于实数若则的最大值为答案解析解法当且仅当，时，取最大值解法二又，从而由同向不等式的可加性可得的最大值为考点二绝对值三角不等式的应用师生共研型名师归纳类题练熟利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到等号的条件若注意到，亦可由点，到直线的距离求解若存在实数使成立，则实数的取值范围是答案,解析，要使有解，可使好题研习考点三柯西不等式的应用师生共研型调研已知正数满足求证求的最小值解析证明根据柯西不等式，得，当且仅当，即时等号成立因为，所以根据平均值不等式，得，当且仅当时，等号成立根据柯西不等式，得即，当且仅当时，等号成立综上当且仅当时，等号成立所以的最小值为用柯西不等式求最大小值，要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件用柯西不等式求最大小值的关键是构造其特征名师归纳类题练熟好题研习已知正数满足求证求的最小值解证明因为，所以由柯西不等式，得又因为，所以当且仅当时取等号由三个正数的平均值不等式，得，因为，所以故，当且仅当，时等号成立所以的最小值为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于的方程不等式恒成立，常转化为求函数，当且仅当时，等号成立根据柯西不等式，得即，当且仅当时，等号成立综上当且仅当时，等号成立所以的最小值为用柯西不等式求最大小值，要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件用柯西不等式求最大小值的关键是构造其特征名师归纳类题练熟好题研习已知正数满足求证求的最小值解证明因为，所以由柯西不等式，得又因为，所以当且仅当时取等号由三个正数的平均值不等式，得，因为，所以故，当且仅当，时等号成立所以的最小值为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于的方程不等式恒成立，常转化为求函数的最值，本题充分利用绝对值定义零点分段法化为分段函数，数形结合可求最值思想方法绝对值不等式中逆向问题的求解策略典例已知，不等式的解集为求的值若恒成立，求的取值范围规范解答解由，得又的解集为，当时，不合题意当时，因此且，由，知，记则所以，因此即的取值范围是，跟踪训练设函数，其中当时，求不等式的解集若不等式的解集为，求的值解当时，可化为或不等式的解集为或由，得此不等式可化为不等式组，或即，或不等式组的解集为由题意，可得，名师指导必明个易误点对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对，当且仅当时，等号成立对，如果，当且仅当且时，左边等号成立当且仅当时，右边等号成立形如的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及的符号判断，若则不等式解集为必会种方法基本性质法对于正实数，⇔，⇔或平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法或叫定义法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解几何法利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解第六章不等式第五节绝对值不等式及柯西不等式选修考情展望考查含绝对值不等式的解法利用不等式的性质求最值利用柯西不等式求些特定函数的最值主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理绝对值三角不等式定理如果，是实数，则，当且仅当时，等号成立定理如果是实数，则，当且仅当时，等号成立绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式，∅∅，，，，和型不等式的解法⇔⇔和型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想或柯西不等式设，均为实数，则，当且仅当时等号成立设，„，„，都是实数，则„„„，当且仅当„，或存在个数，使得„，时，等号成立柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立不等式的解集是，，，，，基础训练解析同解于，不等式的解集是,,解析由，得，即，所以或，故解集为,,若不等式的解集为，则实数答案解析由，得，即不等式的解集为，故必有，即的解集为，故有，已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是答案，解析，当时，不等式无解，故若，则的最小值为答案解析由柯西不等式，得，所以不等式中当且仅当时等号成立由方程组解得，因此当，时，取得最小值，最小值为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克调研不等式的解集为考点含绝对值不等式的解法自主练透型答案，解析原不等式等价于，则，解得西安质检若关于的不等式的解集为则实数的值为答案解析原不等式可化为，又知其解集为所以通过对比可得如果关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是答案，解析注意到，若不等式的解集是空集，则有对任意的都成立，即有，因此，由不等式的解集不是空集可得，实数的取值范围是，自我感悟解题规律，型不等式的解法令每个绝对值符号里的次式为，求出相应的根把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集这些解集的并集就是原不等式的解集调研对于实数若则的最大值为答案解析解法当且仅当，时，取最大值解法二又，从而由同向不等则实数的取值范围是答案，解析注意到，若不等式的解集是空集，则有对任意的都成立，即有，因此，由不等式的解集不是空集可得，实数的取值范围是，自我感悟解题规律，型不等式的解法令每个绝对值符号里的次式为，求出相应的根把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集这些解集的并集就是原不等式的解集调研对于实数若则的最大值为答案解析解法当且仅当，时，取最大值解法二又，从而由同向不等式的可加性可得的最大值为考点二绝对值三角不等式的应用师生共研型名师归纳类题练熟利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到等号的条件若注意到，亦可由点，到直线的距离求解若存在实数使成立，则实数的取值范围是答案,解析，要使有解，可使好题研习考点三柯西不等式的应用师生共研型调研已知正数满足求证求的最小值解析证明根据柯西不等式，得，当且仅当，即时等号成立因为，所以根据平均值不等式，得，当且仅当时，等号成立根据柯西不等式，得即，当且仅当时，等号成立综上当且仅当时，等号成立所以的最小值为用柯西不等式求最大小值，要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件用柯西不等式求最大小值的关键是构造其特征名师归纳类题练熟好题研习已知正数满足求证求的最小值解证明因为，所以由柯西不等式，得又因为，所以当且仅当时取等号由三个正数的平均值不等式，得，因为，所以故，当且仅当，时等号成立所以的最小值为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于的方程不等式恒成立，常转化为求函数对任意的都成立，即有，因此，由不等式的解集不是空集可得，实数的取值范围是，自我感悟解题规律讨论所得的不等式在这个区间上的解集这些解集的并集就是原不等式的解集调研对于实数若则的最大值为答案解析解法不等式的可加性可得的最大值为考点二绝对值三角不等式的应用师生共研型名师归纳类题练熟利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取