节空间几何体的面积与体积考情展望与三视图相结合考查柱锥台球的体积和表面积以选择题与填空题的形式考查主干回顾基础通关固本源练基础理清教材圆柱圆锥圆台的侧面展开图及侧面积公式基础梳理圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式圆柱侧圆锥侧圆台侧空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱表面积侧底锥体棱锥和圆锥表面积侧底台体棱台和圆台表面积侧上下上下上下球判断正误，正确的打，错误的打“”圆台的侧面展开图是圆环若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的倍球的体积之比等于半径比的平方锥体的体积等于底面面积与高之积基础训练答案已知球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是解析设球半径为，则皖何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求个几何体被分成两部分的体积之比时，若有部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优解决空面对角线球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高空间几何体的切割问题在求解些不规则的几何体的体积以及两个几角度多变，归纳起来常见的命题角度有正棱柱的外接球正长方体的外接球正四面是球的直径球与正方体的个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的，母线长分别是，则由可得又两个圆柱的侧面积相等，即，则，所以考情与球相关的切接问题是高考命题的热点，也是考生的难点易失分点命题的体积公式求解江苏设甲乙两个圆柱的底面积分别为体积分别为若它们的侧面积相等，且，则的值是好题研习答案解析设甲乙两个圆柱的底面半径分别是，要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的近似取为答案解析由题意知，即，而，代入得选热点破解通关预练高考指数重点题型破解策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，对于实际问题中置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中，所以即四面体的体积的最大值是湖北算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术最大值是答案在中，所以边上的高等于以，为焦点，长轴为的椭圆上的点到轴的距离，其最大值刚好是点在短轴端点的时候得到，即体积为调研河南十所名校联考四面体中，与互相垂直且，则四面体的体积的力和计算能力考点二空间几何体的体积高频考点型解析画出图形如下，作⊥于，连接结合⊥，∩，得⊥平面所以⊥易知，所以四面体的几何体的体积的求解问题是近几年高考热点，其中以三视图为载体的空间几何体的体积问题备受命题者的青睐试题主要考查体积公式的应用常与正方体长方体棱锥棱柱相结合，以选择题填空题为主，主要考查空间想象能边长为的正方形，则该球的表面积是答案解析依题意，该多面体是球的个内接正方体，且该正方体的棱长为设该球的直径为，则，所以该球的表面积为考情空间到的，根据三视图可知其表面积为故选福建已知多面体内接于球构成个简单组合体，如果该组合体正视图侧视图俯视图均如图所示，且图中的四边形是的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理好题研习安徽个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为解析根据题意作出直观图，如图，该多面体是由正方体切去两个角而得是侧面积与底面圆的面积之和名师归纳类题练熟以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系提醒解题时要注意表面积与侧面积的是侧面积与底面圆的面积之和名师归纳类题练熟以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系提醒解题时要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理好题研习安徽个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为解析根据题意作出直观图，如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为故选福建已知多面体内接于球构成个简单组合体，如果该组合体正视图侧视图俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为的正方形，则该球的表面积是答案解析依题意，该多面体是球的个内接正方体，且该正方体的棱长为设该球的直径为，则，所以该球的表面积为考情空间几何体的体积的求解问题是近几年高考热点，其中以三视图为载体的空间几何体的体积问题备受命题者的青睐试题主要考查体积公式的应用常与正方体长方体棱锥棱柱相结合，以选择题填空题为主，主要考查空间想象能力和计算能力考点二空间几何体的体积高频考点型解析画出图形如下，作⊥于，连接结合⊥，∩，得⊥平面所以⊥易知，所以四面体的体积为调研河南十所名校联考四面体中，与互相垂直且，则四面体的体积的最大值是答案在中，所以边上的高等于以，为焦点，长轴为的椭圆上的点到轴的距离，其最大值刚好是点在短轴端点的时候得到，即，所以即四面体的体积的最大值是湖北算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为答案解析由题意知，即，而，代入得选热点破解通关预练高考指数重点题型破解策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，对于实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解江苏设甲乙两个圆柱的底面积分别为体积分别为若它们的侧面积相等，且，则的值是好题研习答案解析设甲乙两个圆柱的底面半径分别是母线长分别是，则由可得又两个圆柱的侧面积相等，即，则，所以考情与球相关的切接问题是高考命题的热点，也是考生的难点易失分点命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有正棱柱的外接球正长方体的外接球正四面是球的直径球与正方体的个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高空间几何体的切割问题在求解些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求个几何体被分成两部分的体积之比时，若有部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在个平面上，将问题转化为平面上的最值问题如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中条棱或者两个面的交线展开，把不在个平面上的问题转化到个平面上如果是圆柱圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题思想方法几何体的展开与折叠问题转化与化归思想的应用典例有根长为，底面直径为的圆柱形铁管，用段铁丝在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同母线的两端，则铁丝的最短长度为如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于，剪去，将剩余部分沿，折叠，使，重合，则以为顶点的四面体的体积为审题视角可利用圆柱的侧面展开图考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系答案解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形如图，由题意知点与点分别是铁丝的起止位置，故线段的长度即为铁丝的最短长度，故铁丝的最短长度为翻折后的几何体为底面边长为，侧棱长为的正三棱锥，高为，所以该四面体的体积为答案跟踪训练如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，则质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为名师指导必明个易误点求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误易混淆侧面积与表面积的概念必会种方法求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据相关的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体几个与球有关的切接问题的常用结论正方体的棱长为，球的半径为，正方体的外接球，则正方体的内切球，则球与正方体的各棱相切，则长方体的同顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则正四面体的外接球与内切球的半径之比为∶旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法第七章立体几何第二节空间几何体的面积与体积考情展望与三视图相结合考查柱锥台球的体积和表面积以选择题与填空题的形式考查主干回顾基础通关固本源练基础理清教材圆柱圆锥圆台的侧面展开图及侧面积公式基础梳理圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式圆柱侧圆锥侧圆台侧空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱表面积侧底锥体棱锥和圆锥表面积侧底台体棱台和圆台表面积侧上下上下上下球判断正误，正确的打，错误的打“”圆台的侧面展开图是圆环若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的倍球的体积之比等于半径比的平方锥体的体积等于底面面积与高之积基础训练答案已知球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是解析设球半径为，则皖南八校联考已知几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是解析依题意知，该几何体为空心圆柱，故其体积山东个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是解析由正视图知，四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的高为，四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为，高为，侧潍坊模已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为答案解析由三视图可知该几何体为底面是直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱，且底面的直角边长分别为侧棱长即棱柱的高为因此其体积为试题调研考点突破精研析巧