，所以⊥平面存在点为的中点，使得平面⊥平面证明如下如图，连接，交于点，连接因为，且，所以四边形为平行四边形，所以又因为为的中点，所以易知⊥，因为平面⊥平面，平面∩平面，并且⊥，所以⊥平面，所以⊥平面又因为⊂平面，所以平面⊥平面创新点拨解决探究性问题般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在如果找不到符合题目结果要求的条件出现矛盾，则不存在跟踪训练银川模拟如图，在中，分别为，的中点，点为线段上的点，将沿折起到的位置，使⊥，如图求证平面求证⊥线段上是否存在点，使⊥平面请说明理由解证明因为，分别为面连接是直角三角形，⊥同理可得⊥又∩，⊂平面底面是正方形，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊂平面，⊂平面⊥平面，⊂平面，平面⊥平校达标检测如图，在长方体中，点为的中点求证平面⊥平面求证⊥平面证明在长方体中，所以，从而在中，即直线与平面所成角的正切值为考点二平面与平面垂直的判定与性质师生共研型调研烟台四取的中点，连接因为为的中点，所以，且，由⊥平面，得⊥平面，所以是直线与平面所成的角在中，与平面所成角的正切值解证明因为，且，所以，即⊥又⊥平面，⊂平面，所以⊥而∩，所以⊥平面湖南十校联考如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，⊥平面为的中点证明⊥平面求直线平面的传递性，⊥⇒⊥方法三利用面面平行的性质⊥，⇒⊥方法四利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任意条直线，常用来证明线线垂直好题研习，又，名师归纳类题练熟证明直线和平面垂直的常用方法方法利用判定定理方法二利用平行线垂直于而∩，⊥平面又⊂平面，⊥⊥设直线与平面所成的角为，直线与平面所成角的正弦值为又积解析证明依题意，有平面平面又平面∩平面，平面∩平面，三棱柱为直三棱柱，且，⊥，⊥中，点是侧棱延长线上点，是平面与平面的交线求证⊥当直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体答案解析由线面垂直知，图中直角三角形为个试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点直线与平面垂直的判定与性质师生共研型调研成都质检如图，在直三棱柱侧棱与底面垂直的三棱柱由线面平行的性质定理知，该平面必有直线与已知直线平行再根据“两平行线中条垂直于平面，另条也垂直于该平面”得出结论如图，已知⊥平面，⊥，则图中直角三角形的个数为的平面角，即，又即折叠后的长为平面垂直于另平面的条平行线，则这两个平面的位置关系是答案垂直相交解析线的平面定与，都垂直，故成立边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则的长变为解析如图所示，取的中点连接则是二面角面与平面平行或相交，故不正确垂直于直线的直线若在内，则定垂直于平面，否则不定，不成立垂直于平面的平面定平行于直线或垂直于直线，故不正确由平面垂直的判定定理知，垂直于直线面与平面平行或相交，故不正确垂直于直线的直线若在内，则定垂直于平面，否则不定，不成立垂直于平面的平面定平行于直线或垂直于直线，故不正确由平面垂直的判定定理知，垂直于直线的平面定与，都垂直，故成立边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则的长变为解析如图所示，取的中点连接则是二面角的平面角，即，又即折叠后的长为平面垂直于另平面的条平行线，则这两个平面的位置关系是答案垂直相交解析由线面平行的性质定理知，该平面必有直线与已知直线平行再根据“两平行线中条垂直于平面，另条也垂直于该平面”得出结论如图，已知⊥平面，⊥，则图中直角三角形的个数为答案解析由线面垂直知，图中直角三角形为个试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点直线与平面垂直的判定与性质师生共研型调研成都质检如图，在直三棱柱侧棱与底面垂直的三棱柱中，点是侧棱延长线上点，是平面与平面的交线求证⊥当直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积解析证明依题意，有平面平面又平面∩平面，平面∩平面，三棱柱为直三棱柱，且，⊥，⊥而∩，⊥平面又⊂平面，⊥⊥设直线与平面所成的角为，直线与平面所成角的正弦值为又，又，名师归纳类题练熟证明直线和平面垂直的常用方法方法利用判定定理方法二利用平行线垂直于平面的传递性，⊥⇒⊥方法三利用面面平行的性质⊥，⇒⊥方法四利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任意条直线，常用来证明线线垂直好题研习湖南十校联考如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，⊥平面为的中点证明⊥平面求直线与平面所成角的正切值解证明因为，且，所以，即⊥又⊥平面，⊂平面，所以⊥而∩，所以⊥平面取的中点，连接因为为的中点，所以，且，由⊥平面，得⊥平面，所以是直线与平面所成的角在中，所以，从而在中，即直线与平面所成角的正切值为考点二平面与平面垂直的判定与性质师生共研型调研烟台四校达标检测如图，在长方体中，点为的中点求证平面⊥平面求证⊥平面证明在长方体中底面是正方形，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊂平面，⊂平面⊥平面，⊂平面，平面⊥平面连接是直角三角形，⊥同理可得⊥又∩，⊂平面，⊂平面，⊥平面名师归纳类题练熟判定面面垂直的方法面面垂直的定义作两平面构成二面角的平面角，计算其为面面垂直的判定定⊥，⊂⇒⊥三种垂直关系的转化面面垂直性质的应用两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面好题研习浙江名校联考如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直已知，求证平面⊥平面求直线与平面所成角的大小解证明平面⊥平面，⊥，平面∩平面，⊥平面⊂平面，⊥又为圆的直径，⊥，⊥平面⊂平面，平面⊥平面由，知⊥平面，为在平面内的射影，因此即为直线与平面所成的角，四边形为等腰梯形过点作⊥，交于已知则在中，根据射影定理得，直线与平面所成角的大小为考情线面角与二面角是高考考查的热点内容，多为解答题，难度中等偏上，要引起足够重视考点三线面角与二面角的求法高频考点型调研宁波模拟如图所示，三棱柱的底面是边长为的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点求证平面求二面角的大小求直线与平面所成的角的正弦值思路点拨三棱柱的侧面是矩形，对角中，由题设，可得，于是⊥在矩形中，⊥，又∩，所以⊥平面由题设，，所以或其补角是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理，得由，知⊥平面，⊂平面所以⊥，因而⊥，于是是直角三角形，故故异面直线与所成的角的正切值的大小为如图所示，过点作⊥于过点作⊥于，连接因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又∩，所以⊥平面故为在平面内的射影，又⊥，⊥从而是二面角的平面角由题设，可得，由，知，故二面角的正切值的大小为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优创新探究立体几何中的探索性问题典例北京朝阳区第学期期末如图，在四棱锥中，平面⊥平面四边形为正方形，且为的中点求证⊥平面若，为的中点，在棱上是否存在点，使得平面⊥平面，并证明你的结论规范解答解证明因为四边形为正方形，所以⊥又平面⊥平面，且平面∩平面，所以⊥平面存在点为的中点，使得平面⊥平面证明如下如图，连接，交于点，连接因为，且，所以四边形为平行四边形，所以又因为为的中点，所以易知⊥，因为平面⊥平面，平面∩平面，并且⊥，所以⊥平面，所以⊥平面又因为⊂平面，所以平面⊥平面创新点拨解决探究性问题般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在如果找不到符合题目结果要求的条件出现矛盾，则不存在跟踪训练银川模拟如图，在中，分别为，的中点，点为线段上的点，将沿折起到的位置，使⊥，如图求证平面求证⊥线段上是否存在点，使⊥平面请说明理由解证明因为，分别为，的中点，所以又因为⊄平面，⊂平面，所以平面证明由已知，得⊥且，所以⊥所以⊥，⊥，∩，所以⊥平面，而⊂平面，所以⊥又因为⊥，且∩，所以⊥平面，所以⊥线段上存在点使⊥平面理由如下如图，分别取，的中点连接，则又因为，所以所以平面即为平面由，知⊥平面，所以⊥又因为是等腰三角形底边的中点，所以⊥又∩，所以⊥平面，从而⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面名师指导必明个易误点证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这条件面面垂直的判定定理中，直线在平面内且垂直于另平面易忽视面面垂直的性质定理在使用时易忘面内线垂直于交线而盲目套用造成失误必会种方法转化与化归思想垂直关系判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的条与平面垂直，则另条也与这个平面垂直”利用“条直线垂直于两平行平面中的个，则与另个也垂直”利用面面垂直的性质判定线线垂直的方法平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥，⊂⇒⊥线面垂直的性质⊥，⇒⊥判断面面垂直的方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定及其性质考情展望本节从内容上考查线线垂直线面垂直面面垂直的判定与应用问题从能力上考查空间想象能力逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力从题型上主要以正方体长方体棱柱棱锥等多面体为载体，利用填空题或解答题的形式进行考查，试题难度般都是中档难度，也有少部分试题为中等偏上难度主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理直线与平面垂直定义如果直线和平面内的都垂直，就称直线和平面互相垂直，记作⊥直线叫做平面的，平面叫做直线的任意条直线垂线垂面直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述符号表示应用根据定义条直线与个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直⊂且为任意直线⊥⊄⇒⊥判定条直线与个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直⊂，⊂∩⊥⊥⇒⊥证直线和平面垂直任意直线两条相交直线类别语言表述符号表示应用判定如果两条平行直线中的垂直于个平面，那么也垂直于同个平面⊥⇒⊥证直线和平面垂直如果条直线和个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的都垂直⊥⊂⇒⊥证两条直线垂直性质垂直于同个的两条直线平行⊥⊥⇒证两条直线平行条另条任意条直线平面直线与平面所成的角定义平面的条斜线和它在平面上的所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角如图所示，就是斜线和平面所成的角条直线垂直于平面，则它们所成的角是条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是的角直线和平面所成的角的范围是，射影锐角直角二面角定义从条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的如图所示，在二面角的棱上任取点，以点为垂足，在半平面和内分别作于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是平面角是直角的二面角叫做半平面棱