，当时，不构成三角形当时，与点在抛物线上矛盾所以符合要求点共有个答案本题分类讨论是由于点位置变化而引起般由图形位置或形状变化引发讨论包括二次函数对称轴位置变化函数问题中区间变化函数图像形状变化直线由斜率引起位置变化圆锥曲线由焦点引起位置变化或由离心率引起形状变化立体几何中点线面位置变化等设为椭圆两个焦点，为椭圆上点，已知是个直角三角形三个顶点，且求值解若，则，解得若，则，综上知，或中学数学教材中与分类讨论有关知识点绝对值概念定义元二次方程根判别式与根情况二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向反比例函数反比例系数，正比例函数比例系数，次函数，则，解得若，则化或由离心率引起形状变化立体几何中点线面位置变化等设为椭圆两个焦点，为椭圆上点，已知是个直角三角形三个顶点，且求值解若共有个答案本题分类讨论是由于点位置变化而引起般由图形位置或形状变化引发讨论包括二次函数对称轴位置变化函数问题中区间变化函数图像形状变化直线由斜率引起位置变化圆锥曲线由焦点引起位置变，，若，则有，又解得或，当时，不构成三角形当时，与点在抛物线上矛盾所以符合要求点解析当时，点在线段中垂线上，此时，点位置有两个当时，点位置也有两个对情形，点不存在事实上，若设则为其上点，为坐标原点，若为等腰三角形，则这样点个数为思路点拨由于本题只说明为等腰三角形，但是没有明确三角形顶点，因此应进行分类讨论根据图形位置或形状变化分类讨论，，，即，，，解得综上所述，取值范围为，例抛物线焦点为时，在，上为减函数，在，上是增函数，，从而有减函数从而有，，即，，此时无解当，即从而有，，即，，解得当，即时，在,上为在，上为增函数当时，函数取得极小值，极小值为由知，当，即时，在,上为增函数，成立，求实数取值范围解易得当时，在，上为减函数当时，讨论，但却要对参数讨论在求解时要注意讨论对象，同时应理顺讨论目温州模拟已知函数为自然对数底数求函数极小值对区间,内切实数，都有，所以在区间，上最大值为由于所求变量或参数取值不同会导致结果不同，所以要对些问题中所求变量进行讨论而有问题中虽然不需要对变量最大值为当，即时，函数在区间，内单调递增，在区间，内单调递减，在区间，上单调递增，又因在区间，上最大值为当，且，即时，函数在区间，内单调递增，在区间，上单调递减，在区间，上所以函数单调递增区间为，和，单调递减区间为，当，即时，函数在区间，上单调递增，所以函数单调递增区间为，和，单调递减区间为，当，即时，函数在区间，上单调递增，在区间，上最大值为当，且，即时，函数在区间，内单调递增，在区间，上单调递减，在区间，上最大值为当，即时，函数在区间，内单调递增，在区间，内单调递减，在区间，上单调递增，又因，所以在区间，上最大值为由于所求变量或参数取值不同会导致结果不同，所以要对些问题中所求变量进行讨论而有问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论在求解时要注意讨论对象，同时应理顺讨论目温州模拟已知函数为自然对数底数求函数极小值对区间,内切实数，都有成立，求实数取值范围解易得当时，在，上为减函数当时，在，上为增函数当时，函数取得极小值，极小值为由知，当，即时，在,上为增函数，从而有，，即，，解得当，即时，在,上为减函数从而有，，即，，此时无解当，即时，在，上为减函数，在，上是增函数，，从而有，，，即，，，解得综上所述，取值范围为，例抛物线焦点为，为其上点，为坐标原点，若为等腰三角形，则这样点个数为思路点拨由于本题只说明为等腰三角形，但是没有明确三角形顶点，因此应进行分类讨论根据图形位置或形状变化分类讨论解析当时，点在线段中垂线上，此时，点位置有两个当时，点位置也有两个对情形，点不存在事实上，若设则，，若，则有，又解得或，当时，不构成三角形当时，与点在抛物线上矛盾所以符合要求点共有个答案本题分类讨论是由于点位置变化而引起般由图形位置或形状变化引发讨论包括二次函数对称轴位置变化函数问题中区间变化函数图像形状变化直线由斜率引起位置变化圆锥曲线由焦点引起位置变化或由离心率引起形状变化立体几何中点线面位置变化等设为椭圆两个焦点，为椭圆上点，已知是个直角三角形三个顶点，且求值解若，则，解得若，则，综上知，或中学数学教材中与分类讨论有关知识点绝对值概念定义元二次方程根判别式与根情况二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向反比例函数反比例系数，正比例函数比例系数，次函数斜率与图像位置及函数单调性关系幂函数由于所求变量或参数取值不同会导致结果不同，所以要对些问题中所求变量进行讨论而有问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论在求解时要注意讨论对象，同时应理顺讨论目温州模拟已知函数为自然对数底数求函数极小值对区间,内切实数，都有成立，求实数取值范围解易得当时，在，上为减函数当时，在，上为增函数当时，函数取得极小值，极小值为由知，当，即时，在,上为增函数，从而有，，即，，解得当，即时，在,上为减函数从而有，，即，，此时无解当，即时，在，上为减函数，在，上是增函数，，从而有，，，即，，，解得综上所述，取值范围为，例抛物线焦点为，为其上点，为坐标原点，若为等腰三角形，则这样点个数为思路点拨由于本题只说明为等腰三角形，但是没有明确三角形顶点，因此应进行分类讨论根据图形位置或形状变化分类讨论解析当时，点在线段中垂线上，此时，点位置有两个当时，点位置也有两个对情形，点不存在事实上，若设则，，若，则有，又解得或，当时，不构成三角形当时，与点在抛物线上矛盾所以符合要求点共有个答案本题分类讨论是由于点位置变化而引起般由图形位置或形状变化引发讨论包括二次函数对称轴位置变化函数问题中区间变化函数图像形状变化直线由斜率引起位置变化圆锥曲线由焦点引起位置变化或由离心率引起形状变化立体几何中点线面位置变化等设为椭圆两个焦点，为椭圆上点，已知是个直角三角形三个顶点，且求值解若，则，解得若，则，综上知，或中学数学教材中与分类讨论有关知识点绝对值概念定义元二次方程根判别式与根情况二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向反比例函数反比例系数，正比例函数比例系数，次函数斜率与图像位置及函数单调性关系幂函数幂指数正负与定义域单调性奇偶性关系指数函数及其反函数中底数及对函数单调性影响等比数列前项和公式中与区别不等式性质中两边同乘除以正数或负数时对不等号方向影响直线与圆锥曲线位置关系讨论运用点斜式斜截式直线方程时斜率是否存在利用分类讨论思想应注意以下问题分类讨论要标准统，层次分明，分类要做到“不重不漏”分类讨论时要根据题设条件确定讨论级别，再确定每级讨论对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并其中级别与级别之间有严格先后顺序类别和类别之间没有先后最后整合时要注意是取交集并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出专题第三讲思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟专题专项训练角度角度二角度三分类讨论思想含义分类讨论思想就是当问题所给对象不能进行统研究时，需要把研究对象按个标准分类，然后对每类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”解题策略分类讨论常见类型有关分类讨论数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论原因大致可归纳为如下几种由数学概念引起分类讨论有概念本身是分类，如绝对值直线斜率指数函数对数函数等由性质定理公式限制引起分类讨论有数学定理公式性质是分类给出，在不同条件下结论不致，如等比数列前项和公式函数单调性等由数学运算要求引起分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数要求，指数运算中底数要求，不等式两边同乘以个正数负数，三角函数定义域等由图形不确定性引起分类讨论有图形类型位置需要分类，如角终边所在象限，点线面位置关系等由参数变化引起分类讨论些含有参数问题，如含参数方程不等式，由于参数取值不同会导致所得结果不同，或对于不同参数值要运用不同求解或证明方法由实际意义引起讨论此类问题常常出现在应用题中，特别是排列组合中计数问题分类讨论解题步骤确定分类讨论对象即对哪个变量或参数进行分类讨论对所讨论对象进行合理分类逐类讨论即对各类问题详细讨论，逐步解决归纳总结将各类情况总结归纳例设圆锥曲线两个焦点分别为若曲线上存在点满足∶∶∶∶，则曲线离心率等于或或或或由概念法则公式引起分类讨论已知数列前项和是常数，则数列是等差数列等比数列等差数列或等比数列以上都不对思路点拨由于题目中没有明确此圆锥曲线是椭圆还是双曲线，故应进行分类讨论由于公式适用条件为，另外取值会影响数列性质，故应考虑分类讨论解析不妨设，其中，若该曲线为椭圆，则有若该曲线为双曲线，则有，当，且时，是等比数列当时，是等差数列当时，此时既不是等差数列也不是等比数列答案圆锥曲线没有给定时，要讨论是哪类圆锥曲线，否则会造成漏解本题中由于所给曲线有两个焦点，所以不必考虑抛物线本题讨论在于取值，同时对取值还要讨论，极易错误地选取原因就是忽略了对讨论山东高考若函数，在,上最大值为，最小值为，且函数在，上是增函数，则解析函数在，上为增函数，则，即，则函数在,上最小值为，最大值为，解得，与矛盾当时，函数在,上最小值为，最大值为，解得，答案例北京高考已知函数，若曲线与曲线在它们交点，处具有公共切线，求，值当时，求函数单调区间，并求其在区间，上最大值思路点拨由两曲线在交点，处具有公切线知由参数变化而引起分类讨论由于单调区间与或有关，因此求其在区间，上最大值时应对或取值进行分类讨论解因为曲线与曲线在它们交点，处具有公共