，故根据题意，得由，得，将代入，得，即，解得或当时当时所以值为或法二由等比数列性质，可知，根据题意，得即是方程两根，解得或，当，时当，时，所以值为或例北京高考已知椭圆个顶点为离心率为直线与椭圆交于不同两点，求椭圆方程当面积为时，求值思路点拨由顶点坐标及离心率，可求进而可得椭圆标准方程联立直线与椭圆方程构造方程组，利用弦长公式求解函数与方程思想在解析几何中应用解由题意得，解得所以椭圆方程为由得设点，坐标分别为，，设，则，当时即当,，时此类问题常根据所证不等式结构特征构造相应函数，通过研究函数单调性解决问题设讨论与大小关系解，因此在,内单调递减，又，所以，即法二记，则当时，由得，因此在,内是递减函数，又由，得，所以因此在,内是递减函数，又由，得于是当时，当时，由得令则恒小于来解决函数与方程思想在不等式中应用证明法记，则当时，时，时法记时思路点拨问题可转化为证明函数在，上恒小于来解决问题可转化为证明函数在区间,上点，只能有个又，故函数必然有个根在，上，即答案例辽宁高考设，证明当时，当拟已知方程解在区间，内，是整数倍，则实数值是解析令，则它导函数，所以函数在定义域上是单调增函数，如果有零时，是增函数当,时，是减函数又，故有且仅有个零点，即原方程有且仅有个实数根盐城模数零点问题又是重要函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用方程实根个数为解析选令，则，当，和，，当时，当，所以答案函数图像交点问题转化为方程根问题是重要方程思想，同时方程根判断问题常转化为函有两个不同非零实数根因而可设，即，所以，所以解析由题意知函数，图像有且仅有两个公共点等价于方程，，有两个不同根即方程程思想在解决函数图像交点及方程根等问题中应用思路点拨函数图像与图像有且仅有两个不同公共点，即方程有且仅有两个不同实数根，故可构造方程，利用方程思想解决，，若图像与图像有且仅有两个不同公共点则下列判断正确是当当，时，时函数与方程，，若图像与图像有且仅有两个不同公共点则下列判断正确是当当，时，时函数与方程思想在解决函数图像交点及方程根等问题中应用思路点拨函数图像与图像有且仅有两个不同公共点，即方程有且仅有两个不同实数根，故可构造方程，利用方程思想解决解析由题意知函数，图像有且仅有两个公共点等价于方程，，有两个不同根即方程有两个不同非零实数根因而可设，即，所以，所以，当时，当，所以答案函数图像交点问题转化为方程根问题是重要方程思想，同时方程根判断问题常转化为函数零点问题又是重要函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用方程实根个数为解析选令，则，当，和，时，是增函数当,时，是减函数又，故有且仅有个零点，即原方程有且仅有个实数根盐城模拟已知方程解在区间，内，是整数倍，则实数值是解析令，则它导函数，所以函数在定义域上是单调增函数，如果有零点，只能有个又，故函数必然有个根在，上，即答案例辽宁高考设，证明当时，当时思路点拨问题可转化为证明函数在，上恒小于来解决问题可转化为证明函数在区间,上恒小于来解决函数与方程思想在不等式中应用证明法记，则当时，时，时法记，当时，由得令则，因此在,内是递减函数，又由，得，所以因此在,内是递减函数，又由，得于是当时法二记，则当时，由得，因此在,内单调递减，又，所以，即此类问题常根据所证不等式结构特征构造相应函数，通过研究函数单调性解决问题设讨论与大小关系解，设，则，当时即当,，时因此，在，内单调递减，当，即当时，即例已知，对于值域内所有实数，不等式恒成立，求取值范围思路点拨求值域变更主元，将看作主元构造函数解从而原题可转化为恒成立当时，不等式不成立令为次函数问题转化为在，上恒大于所以，，解得或故取值范围是，，在解决不等式恒成立问题时，种最重要思想方法就是构造适当函数，利用函数图像和性质解决问题同时要注意在个含多个变量数学问题中，需要确定合适变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，般地，已知存在范围量为变量，而待求范围量为参数已知不等式对,恒成立，求实数取值范围解设，是函数，其图像是直线依题意对,恒成立由于，当时图像是线段，该线段应全部位于轴下方，其充要条件是端点纵坐标小于，即，，解得故取值范围是，例浙江高考设是公差为无穷等差数列前项和故取值范围是，例浙江高考设是公差为无穷等差数列前项和，则下列命题错误是若若对任意，均有，则数列是递增数列思路点拨等差数列前项和是关于二次函数，可借助二次函数性质解决函数与方程思想在数列中应用解析利用函数思想，通过讨论单调性判断设首项为，则由二次函数性质知有最大值时，则，不妨设显然是递增数列，但，必是递增数列，正确答案等差比数列中各有个基本量，建立方程组可“知三求二”数列本质是定义域为正整数集或其有限子集函数，数列通项公式即为相应解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数思想求解已知为等差数列，以表示前项和，则使得达到最大值是解析选由，得，即，由，得，即，所以这是个关于二次函数，当时取得最大值在等比数列中，则或或解析选法由等比数列性质可知，故根据题意，得由，得，将代入，得，即，解得或当时当时所以值为或法二由等比数列性质，可知，根据题意，得即是方程两根，解得或，当，时当，时，所以值为或例北京高考已知椭圆个顶点为离心率为直线与椭圆交于不同两点，求椭圆方程当面积为时，求值思路点拨由顶点坐标及离心率，可求进而可得椭圆标准方程联立直线与椭圆方程构造方程组，利用弦长公式求解函数与方程思想在解析几何中应用解由题意得，解得所以椭圆方程为由得设点，坐标分别为则，所以又因为点,到直线距离，所以面积为由，解得解析几何是借用坐标系用代数法研究几何图形科学分支，用构造方程方法解决解析几何问题非常简便，本题中第问用方程思想解决问题是非常典型，要熟练掌握长春模拟已知椭圆过定点以其四个顶点为顶点四边形面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点四边形面积倍求此椭圆方程若直线与椭圆交于，两点，轴上点使得为锐角，求实数取值范围解以椭圆四个顶点为顶点四边形面积，以两个短轴端点和两个焦点为顶点四边形面积，即可设椭圆方程为，将点，代入可得故所求椭圆方程为由为锐角，得，设则，联立椭圆方程与直线方程，消去并整理得所以进而求得，所以，即，解得取值范围为，，应用函数与方程思想解决问题时应注意以下几个方面思考和切入函数与不等式相互转化对函数，当时，就化为不等式，借助于函数图像和性质可解决有关问题，而研究函数性质也离不开不等式数列通项与前项和是自变量为正整数函数，用函数观点去处理数列问题十分重要在三角函数求值中，把所求量看作未知量，其余量通过三角函数关系化为未知量表达式，那么问题就能化为未知量方程来解解析几何中许多问题，例如直线与二次曲线位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论立体几何中有关线段长面积体积计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式方法加以解决专题第讲思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟专题专项训练角度角度二角度三角度四角度五函数与方程思想含义函数思想函数思想，是用运动和变化观点，分析和研究数学中数量关系，是对函数概念本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数图像和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决经常利用性质是单调性奇偶性周期性最大值和最小值图像变换等方程思想方程思想，就是分析数学问题中变量间等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程性质去分析转化问题，使问题得以解决方程教学是对方程概念本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中等量关系函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程，就是求函数零点，解不等式或，就是求函数正或负区间，再如方程解问题可以转化为函数与交点问题，也可以转化为函数与轴交点问题，方程有解，当且仅当属于函数值域，函数与方程这种相互转化关系十分重要例设直线与函数，图像分别交于点，则当达到最小时值为若，是正数，且满足，求取值范围函数与方程思想在求最值及参数范围中应用思路点拨由题意可知，因此该问题可转化为求为何值时，函数取得最小值由变形可得，从而求取值范围问题可转化为求函数值域问题若设，则，从而，可看成方程两根，利用方程思想解决解析可知令，则，所以当时，单调递增，故当时，有最小值，即达到最小答案法看成函数值域，，而即或，故当且仅当，即时取等号取值范围是，法二若设，则，所以，可看成方程两个正根从而有，即或，解得，即所以取值范围是，法三看成不等式解集，为正数又，即，解得或舍去，取值范围是，求字母式子值问题往往要根据题设条件构建以待求字母式子为元方程组，然后解方程组求得求参数取值范围是函数方程不等式数列解析几何等问题中重要问题，解决这类问题般有两种途径其，充分挖掘题设条件中不等关系，构建以待求字母为元不等式组求解其二，充分应用题设中等量关系，将待求参数表示成其他变量函数，然后，应用函数知识求值域当问题中出现两数积与这两数和时，是构建元二次方程明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量个数，如果最后能把其中个变量表示成关于另个变量表达式，那么就可用研究函数方法将问题解决如果方程在，上有解，求取值范围解把方程变形为设，，显然当且仅当属于值域时，有解，且由，知,易求得值域为,故取值范围是,例山东高考设函数，若图像与图像有且仅有两个不同公共点则下列判断正确是当当，时，时函数与方程思想在解决函数图像交点及方程