由题意得乙两游客距离为,此时,甲行走了,乙距离处,所以由余弦定理得 ,因 ,即,故当 时,最小,所以乙出发 分钟后,甲乙两 从而     由  ,得   所以索道长为设乙出发分钟后,甲与甲距离最短为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制利用正余弦定理解决实际应用问题在什么范围内解析在中,因为 , ,所以 ,后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到假设缆车匀速直线运行速度为,山路长为,经测量 求索道长问乙出发多少分钟后,乙在缆车上游客从旅游景区景点处下山至处有两种路径种是从沿直线步行到,另种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到现有甲乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发 面积  由已知及余弦定理得 又,故 ,当且仅当时,等号成立因此面积最大值为 典例江苏分如图, 又,故 由,和,得又所以,所以   课标全国Ⅱ分内角对边分别为,已知求若,求面积最大值解析由已知及正弦定理得 解析由 得 ,又所以 根据正弦定理可得  ,所以 ,因为,所以,所以,所以 ,所以为直角三角形函数公式,如同角三角函数基本关系二倍角公式等灵活运用三角形面积公式   已知在中,  ,则面积为答案,得   故,     有关三角形面积问题求解方法灵活运用正余弦定理实现边角转化合理运用三角 ,若,则由余弦定理得,为直角三角形,不符合题意,因此,由余弦定理得与三角形面积有关问题  , 故选由  面积是  ,则  福建分在中, ,则面积等于答案 解析    , 所以  在中, 所以 典例课标Ⅱ分钝角三角形 ,,所以在中,由正弦定理得  所以  故 由知 ,所以  因为,所以 ,,所以在中,由正弦定理得  所以  故 由知 ,所以  因为,所以 所以  在中, 所以 典例课标Ⅱ分钝角三角形面积是  ,则  福建分在中, ,则面积等于答案 解析    , ,若,则由余弦定理得,为直角三角形,不符合题意,因此,由余弦定理得与三角形面积有关问题  , 故选由  ,得   故,     有关三角形面积问题求解方法灵活运用正余弦定理实现边角转化合理运用三角函数公式,如同角三角函数基本关系二倍角公式等灵活运用三角形面积公式   已知在中,  ,则面积为答案 解析由 得 ,又所以 根据正弦定理可得  ,所以 ,因为,所以,所以,所以 ,所以为直角三角形,所以   课标全国Ⅱ分内角对边分别为,已知求若,求面积最大值解析由已知及正弦定理得 又,故 由,和,得又所以 面积  由已知及余弦定理得 又,故 ,当且仅当时,等号成立因此面积最大值为 典例江苏分如图,游客从旅游景区景点处下山至处有两种路径种是从沿直线步行到,另种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到现有甲乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到假设缆车匀速直线运行速度为,山路长为,经测量 求索道长问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲距离最短为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制利用正余弦定理解决实际应用问题在什么范围内解析在中,因为 , ,所以 , 从而     由  ,得   所以索道长为设乙出发分钟后,甲乙两游客距离为,此时,甲行走了,乙距离处,所以由余弦定理得 ,因 ,即,故当 时,最小,所以乙出发 分钟后,甲乙两游客距离最短由  ,得   乙从出发时,甲已走了,还需走才能到达设乙步行速度为,由题意得  ,解得  ,所以为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制在 单位范围内,解三角形实际应用问题般步骤审题建模求解检验作答解三角形应用题两种情形实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上活运用正余弦定理实现边角转化合理运用三角函数公式,如同角三角函数基本关系二倍角公式等灵活运用三角形面积公式   已知在中,  ,则面积为答案 解析由 得 ,又所以 根据正弦定理可得  ,所以 ,因为,所以,所以,所以 ,所以为直角三角形,所以   课标全国Ⅱ分内角对边分别为,已知求若,求面积最大值解析由已知及正弦定理得 又,故 由,和,得又所以 面积  由已知及余弦定理得 又,故 ,当且仅当时,等号成立因此面积最大值为 典例江苏分如图,游客从旅游景区景点处下山至处有两种路径种是从沿直线步行到,另种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到现有甲乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到假设缆车匀速直线运行速度为,山路长为,经测量 求索道长问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲距离最短为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制利用正余弦定理解决实际应用问题在什么范围内解析在中,因为 , ,所以 , 从而     由  ,得   所以索道长为设乙出发分钟后,甲乙两游客距离为,此时,甲行走了,乙距离处,所以由余弦定理得 ,因 ,即,故当 时,最小,所以乙出发 分钟后,甲乙两游客距离最短由  ,得   乙从出发时,甲已走了,还需走才能到达设乙步行速度为,由题意得  ,解得  ,所以为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制在 单位范围内,解三角形实际应用问题般步骤审题建模求解检验作答解三角形应用题两种情形实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出找出这些三角形,先解能直接解三角形,然后逐步解其他三角形,有时需设出未知量,利用几个三角形中边角所满足关系列出方程组,解方程组得出所要求解为了在条河上建座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩,如图以测算两点距离,测量人员在岸边定出基线,测得,,,则可以计算出两点距离为     答案解析在中,由正弦定理得  , 如图,栋建筑物高为 ,在该建筑物正东方向有个通信塔在它们之间地面点三点共线处测得楼顶,塔顶仰角分别是和,在楼顶处测得塔顶仰角为,则通信塔高为 答案解析如图,在中,    易知,所以,又,从而在中,由正弦定理得  ,解得 在中, ,故通信塔高为课标版理数解三角形正弦定理余弦定理正弦定理知识梳理在中,   为外接圆半径余弦定理推论 , , 解三角形类型已知两角边,用正弦定理,有解时,只有解已知两边及其边对角,用正弦定理,在中,已知和角时,解情况如下为锐角为钝角或直角图形    关系式解个数解两解解解表中为锐角时无解为钝角或直角时均无解已知三边,用余弦定理,有解时,只有解已知两边及夹角,用余弦定理,必有解三角形面积设三边为,对角为,其面积为 为边上高   实际问题中常用角仰角和俯角在视线和水平线所成角中,视线在水平线 上方角叫做仰角,在水平线 下方角叫做俯角如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向水平角叫做方位角,如点方位角为如图坡角坡面与水平面所成 锐二面角坡比坡面 铅直高度与水平长度之比 已知中 则角等于 答案在中,由  得  ,解得 ,故选在中,其面积为 ,那么长度为  答案   由余弦定理,有,得中,下列结论,则为钝角三角形,则为,则为锐角三角形∶∶∶∶,则∶∶∶∶,其中正确个数为 答案 ,为锐角,但和不定为锐角,错误,,,∶∶∶ ∶,错误故选在中 , ,则,面积是答案 解析由余弦定理,得 ,负值舍去,   已知中,三个内角所对边长分别为,且, 则答案或解析, 由余弦定理得,即,因式分解得,解得或,经检验都符合题意,所以或三个内角所对边长分别为,已知, 则值为答案 解析由余弦定理得 ,解得 典例湖南分如图,在平面四边形中, 求值若 , ,求长典例题组利用正余弦定理解三角形 解析在中,由余弦定理,得   设,则因为 , ,所以   ,   于是     在中,由正弦定理,得  ,故  已知两边和边对角解三角形时,可有两解解无解三种情况,应根据已知条件判断解情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断三角形中常见结论三内角和等于在三角形中大边对大角,反之亦然任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边北京分在中 ,求值求值解析因为, ,,所以在中,由正弦定理得  所以  故 由知 ,所以  因为,所以 所以  在中, 所以 典例课标Ⅱ分钝角三角形面积是  ,则  福建分在中, ,则面积等于答案 解析    , ,若,则由余弦定理得,为直角三角形,不符合题意,因此,由余弦定理得与三角形面积有关问题  , 故选由  ,得   故,     有关三角形面积问题求解方法灵活运用正余弦定理实现边角转化合理运用三角函数 ,,所以在中,由正弦定理得  所以  故 由知 ,所以  因为,所以 所以  在中, 所以 典例课标Ⅱ分钝角三角形面积是  ,则  福建分在中, ,则面积等于答案 解析    , ,若,则由余弦定理得,为直角三角形,不符合题意,因此,由余弦定理得与三角形面积有关问题  , 故选由  ,得   故,     有关三角形面积问题求解方法灵活运用正余弦定理实现边角转化合理运用三角函数公式,如同角三角函数基本关系二倍角公式等灵活运用三角形面积公式   已知在中,  ,则面积为答案 解析由 得 ,又所以 根据正弦定理可得  ,所以 ,因为,所以,所以,所以 ,所以为直角三角形,所以   课标全国Ⅱ分内角对边分别为,已知求若,求面积最大值解析由已知及正弦定理得 又,故 由,和,得又所以 面积  由已知及余弦定理得 又,故 ,当且仅当时,等号成立因此面积最大值为 典例江苏分如图,游客从旅游景区景点处下山至处有两种路径种是从沿直线步行到,另种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到现有甲乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到假设缆车匀速直线运行速度为,山路长为,经测量 求索道长问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲距离最短为使两位游客在处互相等待时间不超过分钟,乙步行速度应控制利用正余弦定理解决实际应用问题在什么范围内解析在中,因为 , ,所以 , 从而     由  ,得   所以索道长为设乙出发分钟后,甲乙两游客距离为,此时,甲行走了,乙距离处,所以由余弦定理得 ,因 ,即,故当 时,最小,所以乙出发 分钟后,甲乙两游客距离最短由  ,得   乙