⊥,求值解析 , 令 ,则,且 令    ,则 时, ,此时 即   , ,   ,  , 函数最小值为 ,相应值为 与夹角为 ,   ⊥,即   及,得又 ,从而 ,所以  分 ,,向量与三角函数综合应用 若,求值设函数,求最大值解析由 点若向量 ⊥ ,则实数答案解析   ⊥ ,⇒典例辽宁分设向量 又 ,    ,故正确北京西城第学期期末,在平面直角坐标系中⇔⊥是对非零向量而言,若,虽然有,但不能说⊥若向量,满足, ,且⊥,则与夹角为     答案解析⊥,坐标形式给出,即,时,若证明⊥,则只需证明当向量,没有以坐标形式给出时,要把,用已知不共线向量作为基底来表示,从而利用相关条件进行运算证明,得,解得选 , ,因为⊥,所以故平面向量垂直问题当向量与是以且⊥,则实数   湖北分设向量,若⊥,则实数答案解析由⊥答案 解析 ,两边平方得,   舍去典例重庆分已知向量     同理,  已知向量,夹角为,且, ,则求与夹角求和解析由及,得,   又 , 故选两向量夹角公式,实质就是向量数量积公式变形,但应注意夹角定义及夹角范围求向量模过程,就是求向量数量积即  已知,即,是以点,为圆心,为半径圆上点,而 所以可以理解为圆上点到原点距离,由圆性质可知即以和分别为轴和轴正向单位向量建立直角坐标系,则设则,量模  ⇒解法二与夹角等于与夹角,且向量夹角取值范围是  ,⇒⇒取值范围是  ,  , , , 答案解析解法由与夹角等于与夹角,可设  向量夹角与向四川分平面向量,且与夹角等于与夹角,则 湖南分已知,是单位向量,若向量满足,则四川分平面向量,且与夹角等于与夹角,则 湖南分已知,是单位向量,若向量满足,则取值范围是  ,  , , , 答案解析解法由与夹角等于与夹角,可设  向量夹角与向量模  ⇒解法二与夹角等于与夹角,且向量夹角取值范围是  ,⇒⇒以和分别为轴和轴正向单位向量建立直角坐标系,则设则,,即,是以点,为圆心,为半径圆上点,而 所以可以理解为圆上点到原点距离,由圆性质可知即 , 故选两向量夹角公式,实质就是向量数量积公式变形,但应注意夹角定义及夹角范围求向量模过程,就是求向量数量积即  已知求与夹角求和解析由及,得,   又     同理,  已知向量,夹角为,且, ,则答案 解析 ,两边平方得,   舍去典例重庆分已知向量且⊥,则实数   湖北分设向量,若⊥,则实数答案解析由⊥,得,解得选 , ,因为⊥,所以故平面向量垂直问题当向量与是以坐标形式给出,即,时,若证明⊥,则只需证明当向量,没有以坐标形式给出时,要把,用已知不共线向量作为基底来表示,从而利用相关条件进行运算证明⇔⊥是对非零向量而言,若,虽然有,但不能说⊥若向量,满足, ,且⊥,则与夹角为     答案解析⊥,又 ,    ,故正确北京西城第学期期末,在平面直角坐标系中,点若向量 ⊥ ,则实数答案解析   ⊥ ,⇒典例辽宁分设向量 若,求值设函数,求最大值解析由 及,得又 ,从而 ,所以  分 ,,向量与三角函数综合应用     ,当  时, 取最大值所以最大值为  分,在平面向量与三角函数综合问题中,方面利用平面向量语言表述三角函数中问题,如利用向量平行垂直及向量模表述三角函数之间关系等另方面可以利用三角函数知识解决平面向量问题在解决此类问题过程中,只要根据题目具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数知识解决问题已知向量其中若 ,求函数最小值及相应值若与夹角为 ,且⊥,求值解析 , 令,即,是以点,为圆心,为半径圆上点,而 所以可以理解为圆上点到原点距离,由圆性质可知即 , 故选两向量夹角公式,实质就是向量数量积公式变形,但应注意夹角定义及夹角范围求向量模过程,就是求向量数量积即  已知求与夹角求和解析由及,得,   又     同理,  已知向量,夹角为,且, ,则答案 解析 ,两边平方得,   舍去典例重庆分已知向量且⊥,则实数   湖北分设向量,若⊥,则实数答案解析由⊥,得,解得选 , ,因为⊥,所以故平面向量垂直问题当向量与是以坐标形式给出,即,时,若证明⊥,则只需证明当向量,没有以坐标形式给出时,要把,用已知不共线向量作为基底来表示,从而利用相关条件进行运算证明⇔⊥是对非零向量而言,若,虽然有,但不能说⊥若向量,满足, ,且⊥,则与夹角为     答案解析⊥,又 ,    ,故正确北京西城第学期期末,在平面直角坐标系中,点若向量 ⊥ ,则实数答案解析   ⊥ ,⇒典例辽宁分设向量 若,求值设函数,求最大值解析由 及,得又 ,从而 ,所以  分 ,,向量与三角函数综合应用     ,当  时, 取最大值所以最大值为  分,在平面向量与三角函数综合问题中,方面利用平面向量语言表述三角函数中问题,如利用向量平行垂直及向量模表述三角函数之间关系等另方面可以利用三角函数知识解决平面向量问题在解决此类问题过程中,只要根据题目具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数知识解决问题已知向量其中若 ,求函数最小值及相应值若与夹角为 ,且⊥,求值解析 , 令 ,则,且 令    ,则 时, ,此时 即   , ,   ,  , 函数最小值为 ,相应值为 与夹角为 ,   ⊥,即   , 课标版理数平面向量数量积及平面向量应用向量数量积定义向量与夹角已知两个非零向量过点作 , ,则叫做向量与夹角知识梳理当时,与垂直,记作⊥当时,与同向当时,与反向与数量积已知两个非零向量和,它们夹角为,则把数量叫做和数量积或内积记作规定个向量在另个向量方向上投影设是与夹角,则叫做在方向上投影,叫做在方向上投影在方向上投影是个实数,而不是向量几何意义等于长度与在方向上投影乘积向量数量积性质设都是非零向量,是与方向相同单位向量,是与夹角,则⊥⇔当与同向时,当与反向时,特别地, 向量数量积运算律平面向量数量积坐标表示若则若则, 若则  ,这就是平面内两点间距离公式若,为非零向量,则⊥⇔⑩重要不等式若则⇔     两个非零向量互相垂直,给出下列各式其中正确式子有 个个个个答案显然正确由向量运算三角形法则知与长度相等方向不同,所以错误,正确由向量数量积运算律可知正确只有在时,与才互相垂直,错误故选已知向量若与夹角为,则实数值为   答案与夹角为解得,故选平面向量与夹角为 则   答案   故选在边长为等边中,设 , , ,则   答案依题意有    ,故选已知且⊥,则值是答案解析⊥典例江苏分如图,在平行四边形中,已知 ,  ,则  值是课标全国Ⅱ分已知正方形边长为,为中点,则 典例题组平面向量数量积直接应用               ,故  解法         解法二以为原点建立平面直角坐标系如上图,可得  则   答案解析      求两个向量数量积有三种方法利用定义利用向量坐标运算利用数量积几何意义具体应用时可根据已知条件特征来选择,同时要注意数量积运算律应用在中,,求  若试求解析在中,,故,且 , 与 夹角,     已知向量  在轴上存在点使  有最小值,则点坐标是 答案解析设点坐标为则  , 当时,  有最小值点坐标为故选典例四川分平面向量,且与夹角等于与夹角,则 湖南分已知,是单位向量,若向量满足,则取值范围是  ,  , , , 答案解析解法由与夹角等于与夹角,可设  向量夹角与向量模  ⇒解法二与夹角等于与夹角,且向量夹角取值范围是  ,⇒⇒以和分别为轴和轴正向单位向量建立直角坐标系,则设则,,即,是以点,为圆心,为半径圆上点,而 所以可以理解为圆上点到原点距离,由圆性质可知即四川分平面向量,且与夹角等于与夹角,则 湖南分已知,是单位向量,若向量满足,则取值范围是  ,  , , , 答案解析解法由与夹角等于与夹角,可设  向量夹角与向量模  ⇒解法二与夹角等于与夹角,且向量夹角取值范围是  ,⇒⇒以和分别为轴和轴正向单位向量建立直角坐标系,则设则,,即,是以点,为圆心,为半径圆上点,而 所以可以理解为圆上点到原点距离,由圆性质可知即 , 故选两向量夹角公式,实质就是向量数量积公式变形,但应注意夹角定义及夹角范围求向量模过程,就是求向量数量积即  已知求与夹角求和解析由及,得,   又     同理,  已知向量,夹角为,且, ,则答案 解析 ,两边平方得,