当时,时当或时,取得最大值,且最大值为  解法二同解法求得        ,当或时,有最大值,且最大值为解法三同解法求得 由得,即当或时,有最大值,且最大值为典例安徽宿州月,已知函数设函数图象顶点纵坐标构成数列,求证为等差数列设函数图象顶点到轴距离构成数列,求前项和解析证明 分,数列为等差数列 分由题意知 分等差数列证明当时    分当时有最大值⇔为常数列若和均是等差数列,则仍为等差数列,为常数等差数列中依次项和成等差数列,即,成等差数列,证明数列为等差数列,并求数列通项公式证明成等差数列充要条件等差数列单调性⇔为递增数列,有最小值⇔为递减数列,二是等差中项法,证明证明个数列不是等差数列,可以举出反例,也可以用反证法设数列各项都为正数,其前项和为,已知对任意,是 和等差中项,证明等差数列两种基本方法证明数列为等差数列基本方法有两种是定义法,证明,为常数列证明当时    分当时   分  分 分,数列为等差数列 分由题意知 分等差数设函数图象顶点纵坐标构成数列,求证为等差数列设函数图象顶点到轴距离构成数列,求前项和解析证明同解法求得 由得,即当或时,有最大值,且最大值为典例安徽宿州月,已知函数当或时,取得最大值,且最大值为  解法二同解法求得        ,当或时,有最大值,且最大值为解法三,求当取何值时,取得最大值,并求出它最大值解析解法  ,    当时,时数列公差前项和是关于二次函数,故可以考虑从前项和公式入手,通过配方作适当变形求最值,也可用顶点坐标求最值依据等差数列单调性求最值在等差数列中,已知,前项和为,且满足即又,当时,前项和最大等差数列前项和最值问题处理等差数列前项和最值问题两种常用思路由于等差,, ,典例北京分若等差数列 当时, 当时,等差数列公差为正数,且,则前项和答案 解析设数列公差为,由题可知 解得,则,又因为,所以,从而,所以  ,解得由等差数列性质知  ,故选解析由 得 由得,所以不妨设这个数列为,且最后项为因为所以解析由 得 由得,所以不妨设这个数列为,且最后项为因为所以,又因为,所以,从而,所以  ,解得由等差数列性质知  ,故选等差数列公差为正数,且,则前项和答案 解析设数列公差为,由题可知 解得,则 当时, 当时,,, ,典例北京分若等差数列满足即又,当时,前项和最大等差数列前项和最值问题处理等差数列前项和最值问题两种常用思路由于等差数列公差前项和是关于二次函数,故可以考虑从前项和公式入手,通过配方作适当变形求最值,也可用顶点坐标求最值依据等差数列单调性求最值在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,取得最大值,并求出它最大值解析解法  ,    当时,时当或时,取得最大值,且最大值为  解法二同解法求得        ,当或时,有最大值,且最大值为解法三同解法求得 由得,即当或时,有最大值,且最大值为典例安徽宿州月,已知函数设函数图象顶点纵坐标构成数列,求证为等差数列设函数图象顶点到轴距离构成数列,求前项和解析证明 分,数列为等差数列 分由题意知 分等差数列证明当时    分当时   分  分,证明等差数列两种基本方法证明数列为等差数列基本方法有两种是定义法,证明,为常数二是等差中项法,证明证明个数列不是等差数列,可以举出反例,也可以用反证法设数列各项都为正数,其前项和为,已知对任意,是 和等差中项证明数列为等差数列,并求数列通项公式证明成等差数列充要条件等差数列单调性⇔为递增数列,有最小值⇔为递减数列,有最大值⇔为常数列若和均是等差数列,则仍为等差数列,为常数等差数列中依次项和成等差数列,即,成等差数列,公差为 若等差数列前项之和,且,则 答案由 ⇒ ⇒,所以⇒,所以,故选设等差数列前项和为则等于 答案  ,故选已知等差数列中记,则值为 答案由可得由等差数列前项和公式可得 ,故选已知等差数列满足,则有 答案, ,故选等差数列公差,且则数列通项公式是 答案由 ⇒ ⇒ 所以,即,故选,典例辽宁分设等差数列公差为若数列 为递减数列,则 福建分等差数列前项和为,若则等于 典例题组等差数列概念及运算,故选答案解析 为递减数列,可知也为递减数列,又  ,故,故选 ,在等差数列中,五个量,只要已知三个量,就可求出其他两个量在解题中,要灵活运用性质⇔,及 ,运用整体思想方程思想可简化解题过程等差数列中,则等差数列中则若个等差数列前项和为,最后三项和为,且所有项和为,则这个数列项数为 等差数列前项和为,若,则 不确定 答案解析由 得 由得,所以不妨设这个数列为,且最后项为因为所以,又因为,所以,从而,所以  ,解得由等差数列性质知  ,故选等差数列公差为正数,且,则前项和答案 解析设数列公差为,由题可知 解得,则 当时, 当时,,, ,典例北京分若等差数列满足即又,当时,前项和最大等差数列前项和最值问题处理等差数列前项和最值问题两种常用思路由于等差数列公差前项和是关于二次函数,故可以考虑从前项和公式入手,通过配方作适当变形求最值,也可用顶点坐标求最值依据等差数列单调性求最值在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,取得最大值,并求出它最大值解析解法  ,    当时,时当或时,取得最大值,且最大值为  解法二同解法求得        ,当或时,有最大值,且最大值为解法三同解法求得 由得,即当或时,有最大值,且最大值为典例安徽宿州月,已知函数设函数图象顶点纵坐标构成数列,求证为等差数列设函数图象顶点到轴距离构成数列,求前项和解析证明 分,数列为等差数列 分由题意知 分等差数列证明当时    分当时   分  分,证明等差数列两种基本方法证明数列为等差数列基本方法有两种是定义法,证明,为常数二是等差中项法,证明证明个数列不是等差数列,可以举出反例,也可以用反证法设数列各项都为正数,其前项和为,已知对任意,是 和等差中项证明数列为等差数列,并求数列通项公式证明   ,当时, ,解得舍去当时,有 于是  ,即  于是  ,即因为,所以故数列是首项为,公差为等差数列,所以数列通项公式为证明因为,所以 ,则   ,所以     课标版理数等差数列概念及基本运算如果个数列从第二项起,每项与前项差等于同个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列公差,通常用字母表示,定义表达式为知识梳理如果成等差数列,那么叫做与等差中项,且 等差数列通项公式为或等差数列公差公式为 或 等差数列前项和公式     为奇数时,  为中间项等差数列性质,,若,则,关系为,特别地是常数是成等差数列充要条件数列前项和,是常数是成等差数列充要条件等差数列单调性⇔为递增数列,有最小值⇔为递减数列,有最大值⇔为常数列若和均是等差数列,则仍为等差数列,为常数等差数列中依次项和成等差数列,即,成等差数列,公差为 若等差数列前项之和,且,则 答案由 ⇒ ⇒,所以⇒,所以,故选设等差数列前项和为则等于 答案  ,故选已知等差数列中记,则值为 答案由可得由等差数列前项和公式可得 ,故选已知等差数列满足,则有 答案, ,故选等差数列公差,且则数列通项公式是 答案由 ⇒ ⇒ 所以,即,故选,典例辽宁分设等差数列公差为若数列 为递减数列,则 福建分等差数列前项和为,若则等于 典例题组等差数列概念及运算,故选答案解析 为递减数列,可知也为递减数列,又  ,故,故选 ,在等差数列中,五个量,只要已知三个量,就可求出其他两个量在解题中,要灵活运用性质⇔,及 ,运用整体思想方程思想可简化解题过程等差数列中,则等差数列中则若个等差数列前项和为,最后三项和为,且所有项和为,则这个数列项数为 等差数列前项和为,若,则 不确定 答案解析由 得 由得,所以不妨设这个数列为,且最后项为因为所以,又因为,所以,从而,所以  ,解得由等差数列性质知  ,故选等差数列公差为正数,且,则前项和答案 解析设数列公差为,由题可知 解得,则 当时, 当时,,, ,典例北京分若等差数列满足即又,当时,前项和最大等差数列前项和最值问题处理等差数列前项和最值问题两种常用思路由于等差数列公差前项和是关于二次函数,故可以考虑从前项和公式入手,通过配方作适当变形求最值,也可用顶点坐标求最值依据等差数列单调性求最值在等差数列中,已知,前项和为,且解析由 得 由得,所以不妨设这个数列为,且最后项为因为所以,又因为,所以,从而,所以  ,解得由等差数列性质知  ,故选等差数列公差为正数,且,则前项和答案 解析设数列公差为,由题可知 解得,则 当时, 当时,,, ,典例北京分若等差数列满足即又,当时,前项和最大等差数列前项和最值问题处理等差数列前项和最值问题两种常用思路由于等差数列公差前项和是关于二次函数,故可以考虑从前项和公式入手,通过配方作适当变形求最值,也可用顶点坐标求最值依据等差数列单调性求最值在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,取得最大值,并求出它最大值解析解法  ,    当时,时当或时,取得最大值,且最大值为  解法二同解法求得        ,当或时,有最大值,且最大值为解法三同解法求得 由得,即当或时,有最大值,且最大值为典例安徽宿州月,已知函数设函数图象顶点纵坐标构成数列,求证为等差数列设函数图象顶点到轴距离构成数列,求前项和解析证明