平面,又平面,⊂平面,⊂平面,∩,平面平面课标版理数空间点线面位置关系及平行关系基本公理知识梳理名称文字语言符号语言公理如果条直线上两个点在个平面内,那么这条直线在此平面内⇒⊂公理过不在条直线上三个点,有且只有个平面不共线⇒平面且是唯公理如果两个不重合平面有个公共点,那么它们有且只有条过该点公共直线若,且,则∩,且公理平行于同条直线两条直线互相平行设为直线,且,则空间两条直线位置关系位置关系公共点个数共面直线相交直线有且仅有个公共点平行直线在同个平面内,没有公共点异面直线不在同平面内,没有公共点位置关系公共点个数直线在平面内直线上有两个点在平面内,则所有点都在平面内直线在平面外直线和平面相交直线与平面有且仅有个公共点直线和平面平行直线与平面没有公共点直线与平面位置关系平面与平面位置关系平行关系判定定理直线与平面平行判定定理平面 外条直线在正方体中,是中点,分别是中点,求证直线平面平面平面 证明如图,连结,分别是中点,直线证明两个平面同时平行于第三个平面平面与平面平行判定方法利用面面平行定义,此法般与反证法结合在平面和平面平行判定定理中,“两条相交直线”中“相交”两个字不能忽略,否则结论不定成立如图所以,在中,是中点,所以是中点,即同理可证,所以是中点,即,所以利用面面平行判定定理利用两个平面垂直于同面交点连结交于点,连结,与交于点,则点就是与平面交点下面证明因为平面∩平面,平面∩平面,平面平面∩,⊂平面,⊂平面,所以平面平面如图,连结交于点,连结,与交于点因为⊂平面,所以点在平面内,所以点就是与平系解析证明因为在正方体中所以四边形是平行四边形,所以又因为⊂平面,⊄平面,所以平面同理,平面又因为平面试找出体对角线与平面和平面交点并证明解题导引利用面面平行判定定理证明利用面面平行性质得面面平行判定与性质到平行关系,进而得到相等关为平行四边形,⊂平面且⊄平面,平面 典例首师大大兴附中检测如图,在正方体中,求证平面,交于,连结,则⊂平面 易知  ,  在正方体中   ,又,四边形行平面外,且与其中平面平行,则这条直线与另平面也平行如图,正方体中,点在上,点在上,且,求证平面证明如图,作,交于,作利用直线与平面平行判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足条件利用面面平行性质定理,把面面平行转化为线面平行直线在两平行平面中平面内,则这条直线与另平面平行直线在两平证明线面平行方法利用定义证明直线与平面没有公共点,般结合反证法来证明,这时“平行”否定应是“在平面内”或“相交”,只有在排除这两种位置关系后才能得出“直线与平面平行”这结论即  ,解得 因为为中点,所以三棱锥高为 三棱锥体积       设,则,  , ,设为平面法向量,则 即 可取 又为平面法向量,由题设知 为矩形,所以两两垂直如图,以为坐标原点, 方向为轴正方向, 为单位长,建立空间直角坐标系,则,  ,  行判定与性质 解析连结交于点,连结因为为矩形,所以为中点又为中点,所以又⊂平面,⊄平面,所以平面因为⊥平面课标Ⅱ分如图,四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,为中点证明平面设二面角为 ,求三棱锥体积线面平行课标Ⅱ分如图,四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,为中点证明平面设二面角为 ,求三棱锥体积线面平行判定与性质 解析连结交于点,连结因为为矩形,所以为中点又为中点,所以又⊂平面,⊄平面,所以平面因为⊥平面,为矩形,所以两两垂直如图,以为坐标原点, 方向为轴正方向, 为单位长,建立空间直角坐标系,则,  ,   设,则,  , ,设为平面法向量,则 即 可取 又为平面法向量,由题设知 ,即  ,解得 因为为中点,所以三棱锥高为 三棱锥体积      证明线面平行方法利用定义证明直线与平面没有公共点,般结合反证法来证明,这时“平行”否定应是“在平面内”或“相交”,只有在排除这两种位置关系后才能得出“直线与平面平行”这结论利用直线与平面平行判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足条件利用面面平行性质定理,把面面平行转化为线面平行直线在两平行平面中平面内,则这条直线与另平面平行直线在两平行平面外,且与其中平面平行,则这条直线与另平面也平行如图,正方体中,点在上,点在上,且,求证平面证明如图,作,交于,作,交于,连结,则⊂平面 易知  ,  在正方体中   ,又,四边形为平行四边形,⊂平面且⊄平面,平面 典例首师大大兴附中检测如图,在正方体中,求证平面平面试找出体对角线与平面和平面交点并证明解题导引利用面面平行判定定理证明利用面面平行性质得面面平行判定与性质到平行关系,进而得到相等关系解析证明因为在正方体中所以四边形是平行四边形,所以又因为⊂平面,⊄平面,所以平面同理,平面又因为∩,⊂平面,⊂平面,所以平面平面如图,连结交于点,连结,与交于点因为⊂平面,所以点在平面内,所以点就是与平面交点连结交于点,连结,与交于点,则点就是与平面交点下面证明因为平面∩平面,平面∩平面,平面平面,所以,在中,是中点,所以是中点,即同理可证,所以是中点,即,所以利用面面平行判定定理利用两个平面垂直于同直线证明两个平面同时平行于第三个平面平面与平面平行判定方法利用面面平行定义,此法般与反证法结合在平面和平面平行判定定理中,“两条相交直线”中“相交”两个字不能忽略,否则结论不定成立如图,在正方体中,是中点,分别是中点,求证直线平面平面平面 证明如图,连结,分别是中点,又⊂平面,⊄平面,直线平面连结,分别是中点,又⊂平面,⊄平面,平面,又平面,⊂平面,⊂平面,∩,平面平面性试题中用好模型,会事半功倍若直线不平行于平面,且⊄,则 内所有直线与异面内不存在与平行直线内存在唯直线与平行内直线与都相交答案解析若内存在直线,⊄,则,与题设矛盾,故选是不同直线,是不同平面,有以下四个命题若,,则若⊥,,则⊥若⊥,,则⊥若,⊂,则其中真命题序号是 答案解析确定命题正确常常需要严格证明,判断命题错误只需举个反例就可以了如图,在正方体中,平面垂直平面,直线平行于平面,但直线并不垂直于平面故错误,排除由线面平行判定定理知,缺少条件⊄,故错误故选典例课标Ⅱ分如图,四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,为中点证明平面设二面角为 ,求三棱锥体积线面平行判定与性质 解析连结交于点,连结因为为矩形,所以为中点又为中点,所以又⊂平面,⊄平面,所以平面因为⊥平面,为矩形,所以两两垂直如图,以为坐标原点, 方向为轴正方向, 为单位长,建立空间直角坐标系,则,  ,   设,则,  , ,设为平面法向量,则 即 可取 又为平面法向量,由题设知 ,即  ,解得 因为为中点,所以三棱锥高为 三棱锥体积      证明线面平行方法利用定义证明直线与平面没有公共点,般结合反证法来证明,这时“平行”否定应是“在平面内”或“相交”,只有在排除这两种位置关系后才能得出“直线与平面平行”这结论利用直线与平面平行判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足条件利用面面平行性质定理,把面面平行转化为线面平行直线在两平行平面中平面内,则这条直线与另平面平行直线在两平行平面外,且与其中平面平行,则这条直线与另平面也平行如图,正方体中,点在上,点在上,且,求证平面证明如图,作,交于,作,交于,连结,则⊂平面 易知  ,  在正方体中   ,又,四边形为平行四边形,⊂平面且⊄平面,平面 典例首师大大兴附中检测如图,在正方体中,求证平面平面试找出体对角线与平面和平面交点并证明解题导引利用面面平行判定定理证明利用面面平行性质得面面平行判定与性质到平行关系,进而得到相等关系解析证明因为在正方体中所以四边形是平行四边形,所以又因为⊂平面,⊄平面,所以平面同理,平面又因为∩,⊂平面,⊂平面,所以平面平面如图,连结交于点,连结,与交于点因为⊂平面,所以点在平面内,所以点就是与平面交点连结交于点,连结,与交于点,则点就是与平面交点下面证明因为平面∩平面,平面∩平面,平面平面,所以,在中,是中点,所以是中点,即同理可证,所以是中点,即,所以利用面面平行判定定理利用两个平面垂直于同直线证明两个平面同时平行于第三个平面平面与平面平行判定方法利用面面平行定义,此法般与反证法结合在平面和平面平行判定定理中,“两条相交直线”中“相交”两个字不能忽略,否则结论不定成立如图,在正方体中,是中点,分别是中点,求证直线平面平面平面 证明如图,连结,分别是中点,又⊂平面,⊄平面,直线平面连结,分别是中点,又⊂平面,⊄平面,平面,又平面,⊂平面,⊂平面,∩,平面平面课标版理数空间点线面位置关系及平行关系基本公理知识梳理名称文字语言符号语言公理如果条直线上两个点在个平面内,那么这条直线在此平面内⇒⊂公理过不在条直线上三个点,有且只有个平面不共线⇒平面且是唯公理如果两个不重合平面有个公共点,那么它们有且只有条过该点公共直线若,且,则∩,且公理平行于同条直线两条直线互相平行设为直线,且,则空间两条直线位置关系位置关系公共点个数共面直线相交直线有且仅有个公共点平行直线在同个平面内,没有公共点异面直线不在同平面内,没有公共点位置关系公共点个数直线在平面内直线上有两个点在平面内,则所有点都在平面内直线在平面外直线和平面相交直线与平面有且仅有个公共点直线和平面平行直线与平面没有公共点直线与平面位置关系平面与平面位置关系平行关系判定定理直线与平面平行判定定理平面 外条直线与此平面 内条直线平行,则该直线与此平面 平行平面与平面平行判定定理位置关系公共点个数两个平面平行没有公共点两个平面相交有条⑩公共直线个平面内两条 相交直线与另个平面平行,则这两个平面 平行平行关系性质定理直线与平面平行性质定理条直线与个平面平行,则过这条直线 任平面与此平面交线与该直线 平行平面与平面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们交线 平行 已知直线与平面,则下列结论正确是 若⊂,∩,则为异面直线若,,则若⊥,⊥,则若⊥,⊥,则答案错,也可能相交错,也可能在内错,也可能在内正确,垂直于同平面两条直线平行故选若平面平面,直线平面,点,则在平面内过点所有直线中 不定存在与平行直线只有两条与平行直线存在无