定义法在二面角棱上找特殊点,在两个半平面内分别作过特殊点且垂直于棱射线如图,为二面角平面角方法二垂面法过棱上点作棱垂直平面,该平面与二面角两个半平面产生交线,这两条交线所成角即为二面角平面角图如图,为二面角平面角方法三垂线法过二面角个半平面内点作另个半平面垂线,过垂足作棱垂线,利用线面垂直可找到二面角平面角或其补角如图,为二面角平面角图图如图,在四棱锥中,⊥平面,底面为正方形,且,分别为棱中点求异面直线和所成角大小求证平面⊥平面求二面角大小 解析以直线为轴,直线为轴,直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则为中点,为中点 又 , 异面直线和所成角大小为证明由知⊥, , 面面垂直来实现,因此,在关于垂直问题论证中要注意线线垂直线面垂直面面垂直相互转化如图所示,为正三角形,⊥平面,,且,是中点,求证平面这样直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直若这样直线不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直所成二面角是直二面角,就说这两个平面垂直利用面面垂直判定定理,即如果个平面经过另个平面条垂线,那么这两个平面垂直利用面面垂直判定定理证明面面垂直般方法在先从现有直线中寻找平面垂线,若面面垂直证明方法证明两个平面垂直,主要途径利用面面垂直定义,即两平面相交,如果它们则 即 取,得平面个法向量为设直线与平面所成角为,则  ,即直线与平面所成角正弦值为 建立空间直角坐标系依题意,得 ,则 ,  , 设平面法向量为,面又⊂平面,⊥过点在平面内作⊥,如图由知⊥平面,又⊂平面,⊥以为坐标原点,分别以 , , 方向为轴,轴,轴正方向求证⊥若为中点,求直线与平面所成角正弦值解析证明平面⊥平面,平面∩平面,⊂平面,⊥,面面垂直判定与性质⊥平典例福建分在平面四边形中⊥,⊥将沿折起,使得平面⊥平面,如图⊥平面⇒ ⇒⊥平面⊂平面,由知 ⇒⊥平面⊂平面,由知 ⇒⊥平面直角三角形直角梯形等等如图,是所在平面外点,⊥平面,,⊥于,⊥于求证⊥平面⊥平面⊥平面证明垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含垂直关系,如等腰三角形底边上高中线和顶角角平分线三线合,矩形内角直径所对圆周角菱形对角线互相垂直,证明线面垂直方法是利用线面垂直判定定理二是利用面面垂直性质定理三是利用平行线法若两条平行线中条垂直于这个平面,则另条也,则 即 取 ,则, ,所以, , ,设二面角大小为,易知是锐角,于是   故二面角余弦值为 系,不妨设,因为,所以 于是相关各点坐标为, ,易知,是平面个法向量设是平面法向量菱形,因此⊥,又由知⊥底面,从而两两垂直如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标 在中,易知  ,而,于是   故   即二面角余弦值为 解法二因为四棱柱所有棱长都相等,所以四边形是菱 在中,易知  ,而,于是   故   即二面角余弦值为 解法二因为四棱柱所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此⊥,又由知⊥底面,从而两两垂直如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,不妨设,因为,所以 于是相关各点坐标为, ,易知,是平面个法向量设是平面法向量,则 即 取 ,则, ,所以, , ,设二面角大小为,易知是锐角,于是   故二面角余弦值为 ,证明线面垂直方法是利用线面垂直判定定理二是利用面面垂直性质定理三是利用平行线法若两条平行线中条垂直于这个平面,则另条也垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含垂直关系,如等腰三角形底边上高中线和顶角角平分线三线合,矩形内角直径所对圆周角菱形对角线互相垂直直角三角形直角梯形等等如图,是所在平面外点,⊥平面,,⊥于,⊥于求证⊥平面⊥平面⊥平面证明⊥平面⇒ ⇒⊥平面⊂平面,由知 ⇒⊥平面⊂平面,由知 ⇒⊥平面典例福建分在平面四边形中⊥,⊥将沿折起,使得平面⊥平面,如图求证⊥若为中点,求直线与平面所成角正弦值解析证明平面⊥平面,平面∩平面,⊂平面,⊥,面面垂直判定与性质⊥平面又⊂平面,⊥过点在平面内作⊥,如图由知⊥平面,又⊂平面,⊥以为坐标原点,分别以 , , 方向为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系依题意,得 ,则 ,  , 设平面法向量为,则 即 取,得平面个法向量为设直线与平面所成角为,则  ,即直线与平面所成角正弦值为 面面垂直证明方法证明两个平面垂直,主要途径利用面面垂直定义,即两平面相交,如果它们所成二面角是直二面角,就说这两个平面垂直利用面面垂直判定定理,即如果个平面经过另个平面条垂线,那么这两个平面垂直利用面面垂直判定定理证明面面垂直般方法在先从现有直线中寻找平面垂线,若这样直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直若这样直线不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现,因此,在关于垂直问题论证中要注意线线垂直线面垂直面面垂直相互转化如图所示,为正三角形,⊥平面,,且,是中点,求证平面⊥平面平面⊥平面则􀱀 ,,点在平面内⊥平面,⊥又易知⊥,⊥平面⊂平面,平面⊥平面由易知􀱀,故四边形是平行四边形,故,又⊥平面,⊥平面又⊂平面,平面⊥平面证明取中点,连结,典例山东分已知证明若⊥,求二面角余弦值空间角答案解析如图,设为底面中心,连结,由题意知为直三棱柱高,为与平面所成角,   三棱柱体积 ,  , 又为底面中心,则等于正高 ,又易知高为 ,  在中,   , ,故选连结,交于点,连结因为侧面为菱形,所以⊥,且为及中点又⊥,所以⊥平面由于⊂平面,故⊥又,故因为⊥,且为中点,所以又因为,所以≌故⊥,从而两两互相垂直以为坐标原点, 方向为轴正方向, 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 因为,所以为等边三角形,又,则  ,  ,   ,   设是平面法向量,则 即 所以可取, , 设是平面法向量,则 同理可取, , 则  又易知二面角为锐二面角,,,所以二面角余弦值为 异面直线所成角平移直线法是求异面直线所成角常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下平移平移异面直线中条或两条,作出异面直线所成角或其补角认定证明作出角就是所求异面直线所成角或其补角计算求该角值,常利用解三角形取舍异面直线所成角取值范围是 ,当所作角为钝角时,应取它补角作为两条异面直线所成角,当直线与平面斜交时,求斜线与平面所成角,常有以下步骤构造作出或找到斜线与其射影所成角设定论证所作或找到角为所求角计算常用解三角形方法求解结论回答斜线和平面所成角值可以将其总结为作找,证,算,答四个步骤求异面直线所成角要特别注意异面直线之间所成角范围作二面角平面角方法方法定义法在二面角棱上找特殊点,在两个半平面内分别作过特殊点且垂直于棱射线如图,为二面角平面角方法二垂面法过棱上点作棱垂直平面,该平面与二面角两个半平面产生交线,这两条交线所成角即为二面角平面角图如图,为二面角平面角方法三垂线法过二面角个半平面内点作另个半平面垂线,过垂足作棱垂线,利用线面垂直可找到二面角平面角或其补角如图,为二面角平面角图图如图,在四棱锥中,⊥平面,底面为正方形,且,分别为棱中点求异面直线和所成角大小求证平面⊥平面求二面角大小 解析以直线为轴,直线为轴,直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则为中点,为中点 又 , 异面直线和所成角大小为证明由知⊥, , ,  ,⊥又∩,⊥平面又⊂平面,平面⊥平面设平面平面个法向量分别是则  取  ,又易知二面角为锐二面角,二面角大小为课标版理数垂直关系及空间角直线与平面垂直直线与平面垂直判定方法定义法知识梳理利用判定定理条直线和个平面内两条相交直线都垂直,则该直线和此平面垂直直线与平面垂直性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意条直线垂直于同直线两平面平行平面与平面垂直平面与平面垂直判定方法定义法利用判定定理个平面过另个平面垂线,则这两个平面垂直平面与平面垂直性质两平面垂直,则个平面内垂直于交线直线垂直于另个平面空间角异面直线所成角设是两条异面直线,经过空间中任点作直线,,把与所成锐角或直角叫做异面直线所成角或夹角斜线和平面所成角平面条斜线和它在平面内射影所成锐角二面角平面角从二面角棱上点,在两个半平面内分别作垂直于棱射线,则两射线所成角叫做二面角平面角空间距离点到面距离作点到面垂线,点到垂足距离即为点到平面距离在三棱锥中用等体积法求解向量法求点到平面距离 为平面法向量,为平面上点,为过点斜线段线到面距离在直线上任取点转化为点到面距离面到面距离转化为点到面距离同上线面距离注意空间角与空间距离问题利用空间向量解决较为方便在下节重点讲解 给出下列三个命题“直线为异面直线”充分非必要条件是“直线不相交”“直线垂直于直线”充分非必要条件是“直线垂直于直线在平面内射影”“直线垂直于平面”必要非充分条件是“直线垂直于平面内无数条直线”其中正确命题个数是  答案对于,不相交时,可以平行或异面,不定能推出异面,错对于,只有在平面内时才成立,错对于,垂直于平面内无数条直线,当这无数条直线都平行时,不定垂直于,而当⊥时,定能垂直于内无数条直线,正确,故选如图所示,在直三棱柱中,点分别是棱中点,则直线和所成角是 答案取中点,中点,连结,则,则或其补角就是所求角,设,易得 , ,  ,利用余弦定理可求得 ,故所求角为故选如图,为正方体底面中心,则下列直线中与垂直是 答案易知⊥平面,⊥平面又⊂平面,⊥,故选为所在平面外点,且两两垂直,则下列命题⊥⊥⊥⊥,其中正确个数