, ⊥ ,即⊥又∩,⊥平面⊂平面,平面⊥平面典例重庆分如图,四棱锥中,底面是以为中心菱形,⊥底面 ,为上点,且 ,⊥求长求二面角正弦值解析如图,连结因为为菱形,则∩,且⊥以为坐标原点, , , 方向分别为轴,轴,轴正方向,建立空间直利用空间向量求空间角角坐标系因为 ,故  , ,所以,  , ,  由 ,知,    ,从而    ,即 设,则  ,  因为⊥,故  ,即 ,所以 或 舍去,即 由知, 由点在棱上,设 ,故     由⊥,得  ,因此,,为平面法向量,则 即 不妨令,可得为平面个法向量于是有   所以直线与平面所成角正弦值为 向量 , , ,由为棱中点,得证明向量 , ,故  所以⊥向量 , 设所成角正弦值若为棱上点,满足⊥,求二面角余弦值典例题组利用空间向量证明平行与垂直 解析依题意,以点为原点建立空间直角坐标系如图,可得,典例天津分如图,在四棱锥中,⊥底面,⊥,,点为棱中点证明⊥求直线与平面,                      , ⊥ ,二面角大小为,如果,,那么二面角大小为 答案解析如图,不妨设作⊥于,⊥于,, , 则   ,直线与平面所成角为是二面角棱上点,分别在平面上引射线,则, 则 ,  , 设平面法向量为,易知可取,正四棱锥中,为顶点在底面上射影,为侧棱中点,且,则直线与平面所成角是 答案解析如图所示,以为原点建立空间直角坐标系设角为,故选在空间直角坐标系中,以点为顶点是以为斜边等腰直角三角形,则实数值为答案解析由题意知  ,  ,可解得示,则直线和所成角为 答案以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,则 , , ,两直线所成, ,  所以异面直线与所成角余弦值为 已知正方体如图所 长方体中,为中点,则异面直线与所成角余弦值为      答案建立坐标系如图,则,则二面角大小就是向量  夹角如图所示设分别是二面角两个半平面法向量,则向量与夹角或其补角大小就是二面角大小如图向向量为,平面法向量为,直线与平面所成角为,则   求二面角大小若分别在二面角两个半平面内在棱上,且都与棱垂直,求两条异面直线所成角设分别是两异面直线方向向量,则与所成角与夹角范围   ,求直线与平面所成角设直线方向求两条异面直线所成角设分别是两异面直线方向向量,则与所成角与夹角范围   ,求直线与平面所成角设直线方向向量为,平面法向量为,直线与平面所成角为,则   求二面角大小若分别在二面角两个半平面内在棱上,且都与棱垂直,则二面角大小就是向量  夹角如图所示设分别是二面角两个半平面法向量,则向量与夹角或其补角大小就是二面角大小如图 长方体中,为中点,则异面直线与所成角余弦值为      答案建立坐标系如图,则 ,  所以异面直线与所成角余弦值为 已知正方体如图所示,则直线和所成角为 答案以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,则 , , ,两直线所成角为,故选在空间直角坐标系中,以点为顶点是以为斜边等腰直角三角形,则实数值为答案解析由题意知  ,  ,可解得正四棱锥中,为顶点在底面上射影,为侧棱中点,且,则直线与平面所成角是 答案解析如图所示,以为原点建立空间直角坐标系设,则, 则 ,  , 设平面法向量为,易知可取,则   ,直线与平面所成角为是二面角棱上点,分别在平面上引射线,如果,,那么二面角大小为 答案解析如图,不妨设作⊥于,⊥于,, , ,                      , ⊥ ,二面角大小为典例天津分如图,在四棱锥中,⊥底面,⊥,,点为棱中点证明⊥求直线与平面所成角正弦值若为棱上点,满足⊥,求二面角余弦值典例题组利用空间向量证明平行与垂直 解析依题意,以点为原点建立空间直角坐标系如图,可得,由为棱中点,得证明向量 , ,故  所以⊥向量 , 设为平面法向量,则 即 不妨令,可得为平面个法向量于是有   所以直线与平面所成角正弦值为 向量 , , , 由点在棱上,设 ,故     由⊥,得  ,因此,,,解得 即  设为平面法向量,则 即 不妨令,可得为平面个法向量取平面法向量,则   易知,二面角是锐角,所以其余弦值为 ,用向量证平行方法线线平行证明两直线方向向量共线线面平行证明该直线方向向量与平面法向量垂直证明直线方向向量与平面内直线方向向量平行面面平行证明两平面法向量为共线向量转化为线面平行线线平行问题用向量证明垂直方法线线垂直证明两直线方向向量互相垂直,即证它们数量积为零线面垂直证明直线方向向量与平面法向量共线,或将线面垂直判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面法向量垂直,或将面面垂直判定定理用向量表示如图所示,在正方体中,分别是中点求证平面 以为原点,所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,则可求得 , 于是  , , 设平面个法向量是, 证明证法如图所示,则 ,且 ,得 取,得,  , ⊥,又⊄平面是  , , 设平面个法向量是, 证明证法如图所示,则 ,且 ,得 取,得,  , ⊥,又⊄平面,平面证法二            ,  ,又⊄平面,⊂平面,平面,如图所示,已知四棱锥底面是直角梯形,侧面⊥底面证明⊥平面⊥平面 证明取中点,连结,平面⊥底面,为等边三角形,⊥底面以中点为坐标原点,以所在直线为轴,过点与平行直线为轴,如图所示,建立空间直角坐标系不妨设,则, ,  ,     , ⊥ ,⊥取中点,连结,则   ,  ,     , ⊥ ,即⊥     , ⊥ ,即⊥又∩,⊥平面⊂平面,平面⊥平面典例重庆分如图,四棱锥中,底面是以为中心菱形,⊥底面 ,为上点,且 ,⊥求长求二面角正弦值解析如图,连结因为为菱形,则∩,且⊥以为坐标原点, , , 方向分别为轴,轴,轴正方向,建立空间直利用空间向量求空间角角坐标系因为 ,故  , ,所以,  , ,  由 ,知,    ,从而    ,即 设,则  ,  因为⊥,故  ,即 ,所以 或 舍去,即 由知,  ,  ,  设平面法向量为,平面法向量为,由 , ,得 故可取 ,由 , ,得 故可取, 从而法向量,夹角余弦值为  ,故所求二面角正弦值为 求异面直线所成角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象要求,所以需引起我们重视用向量法时,需注意两异面直线所成角范围为 ,由于直线与平面所成角和直线方向向量与该平面法向量夹角或其补角互余,故要求直线与平面所成角只需求直线方向向量与该平面法向量夹角即可求二面角大小可转化为求两个平面法向量夹角大小,两平面法向量夹角与二面角大小相等或互补,解题时要注意结合题目条件进步确定二面角大小如图,在四棱锥中,⊥平面,底面是菱形求证⊥平面若,求与所成角余弦值当平面与平面垂直时,求长解析证明因为四边形是菱形,所以⊥因为⊥平面,所以⊥又因为∩,所以⊥平面设∩因为所以, 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则, ,  ,所以 ,  , ,设与所成角为,则   由知 , ,设, ,则 , ,设平面个法向量为,则 , 所以 令 ,则, ,所以 同理,平面个法向量为 因为平面⊥平面,所以,即 解得 所以 课标版理数空间向量与立体几何空间向量概念知识梳理名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向量叫做空间向量,其大小叫做向量模或长度单位向量长度或模为向量零向量模为向量相等向量方向相同且模相等向量相反向量方向相反且模相等向量共线向量如果表示空间向量有向线段所在直线平行或重合,则称这些向量为共线向量或平行向量,平行于记作共面向量平行于同平面向量叫做共面向量空间向量中有关定理及其推论共线向量定理对空间任意两个向量,充要条件是推论如图所示,点在上充要条件是   其中是直线方向向量,,在上取 ,则可化为  或   共面向量定理向量表达式为,其中,,为不共线向量,推论表达式为   ,或对空间点,有   或    ,其中线性运算运算律加法交换律加法结合律数乘向量分配律向量对实数加法分配律数乘向量结合律空间向量数量积及运算律数量积及相关概念已知两个非零向量,在空间任取点,作 , ,则叫做向量与夹角,记作⑩或,其范围是 ,若 ,则称与垂直,记作⊥已知空间两个非零向量,则叫做向量数量积,记作 若则 空间向量数量积运算律结合律交换律分配律空间直角坐标系基本概念空间直角坐标系右手直角坐标系空间点坐标以空间点为原点,建立三条相互垂直数轴轴轴轴,称为空间直角坐标系,其中点叫原点,轴轴轴叫坐标轴,平面平面平面称为坐标平面在空间直角坐标系中,右手拇指指向轴正方向食指指向轴正方向中指指向轴正方向其中,,点坐标为其中叫点横坐标叫点纵坐标叫点竖坐标空间两点间距离公式空间中两点之间距离 特别地,空间任意点与原点之间距离 空间向量坐标表示应用共线与垂直坐标表示设,均为非零向量,则⇔⇔,⊥⇔⇔ 模夹角和距离公式设则   ,   若则 两个重要向量直线方向向量直线方向向量是指和这条直线平行或在这条直线上有向线段所表示向量,条直线方向向量有 无数个平面法向量直线⊥平面,取直线方向向量,则这个向