，且四边形是平行四边形，同理可证成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修点直线平面之间位置关系第二章空间点直线平面之间位置关系第二章空间中直线与直线之间位置关系高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习在初中，我们已经学习了在同平面内两条直线位置关系，还学习了些平行线性质过直线外点条直线和这条直线平行在同平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线这性质通过本节学习也能进步推广到空间知识衔接相交或平行有且只有也互相平行两直线平行分线段成比例如，在中，交于点，于点，则两直线平行同位角，内错角，同旁内角相等相等互补异面直线概念不同在平面内两条直线叫做异面直线归纳总结对定义可作如下理解“不同在任何个平面内两条直线”是指接在中，是中点，是中点，，同理可得，为异面直线与所成角或其补角在中又如图，是平面外点分别为和中点，且求异面直线和所成角大小探究如何移至同个三角形中找出和所成角解析如图，取中点，连是平行四边形，且又，且四边形是平行四边形同理可证又与两边方向相同，求异面直线所成角方体棱中点，求证分析欲证两个角相等，可通过等角定理来实现证明如图所示，连接分别是中点，，且四边形这两条直线都与之平行，这是种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等二是证明在同平面内，这两条直线无公共点求证角相等是用等角定理二是用三角形全等或相似已知分别是正≌来实现，由于，所以只需要证明在这些边所在直角三角形中，利用勾股定理即可证明规律总结求证两直线平行，目前有两种途径是应用公理，即找到第三条直线，证明为平行四边形，所以，所以同理可证因为与两边分别对应平行，且方向都相反，所以方法探究在证明时，还可以通过证明取中点，连接则綊又綊，所以綊，所以四边形为平行四边形，所以因为且綊，所以綊，所以四边形中，因为，分别为，中点，所以綊同理，綊在正方体中，綊，所以四边形为平行四边形，所以綊，又綊，綊，所以綊证綊公理等角定理应用探究綊，綊綊綊，解析如图，连接在面直线，平行两条直线，是相交关系如图，分别与异面直线，平行两条直线，是异面关系综上可知，应选如图，在正方体中分别是棱，中点求，∉⇒与是异面直线如图河北馆陶中月考试题分别和两条异面直线平行两条直线位置关系是定平行定相交定异面相交或异面答案解析画出图形，得到结论如图，分别与异例说明两条直线位置关系判定两条直线是异面直线方法方法证明两条直线既不平行又不相交重要结论连接平面内点与平面外点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线用符号语言可表示为∉，不在个平面内故均不正确答案规律总结判断空间中两条直线位置关系诀窍建立空间观念，全面考虑两条直线平行相交和异面三种位置关系特别关注异面直线重视正方体等常见几何体模型应用，会举那么，也共面在上述命题中，正确命题个数是空间两条直线位置关系判定互动探究解析与可能相交，也可能异面与可能相交，也可能平行与可能异面，也可能平行与可能题如果⊥，⊥，那么如果，是异面直线是异面直线，那么，也是异面直线如果，是相交直线是相交直线，那么，也是相交直线如果，共面共面，，与所成角为易证，或其补角即为所求，易知为正三角形，，故与所成角为高效课堂已知是空间三条直线，下面给出四个命题，与所成角为易证，或其补角即为所求，易知为正三角形，，故与所成角为高效课堂已知是空间三条直线，下面给出四个命题如果⊥，⊥，那么如果，是异面直线是异面直线，那么，也是异面直线如果，是相交直线是相交直线，那么，也是相交直线如果，共面共面，那么，也共面在上述命题中，正确命题个数是空间两条直线位置关系判定互动探究解析与可能相交，也可能异面与可能相交，也可能平行与可能异面，也可能平行与可能不在个平面内故均不正确答案规律总结判断空间中两条直线位置关系诀窍建立空间观念，全面考虑两条直线平行相交和异面三种位置关系特别关注异面直线重视正方体等常见几何体模型应用，会举例说明两条直线位置关系判定两条直线是异面直线方法方法证明两条直线既不平行又不相交重要结论连接平面内点与平面外点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线用符号语言可表示为∉，，∉⇒与是异面直线如图河北馆陶中月考试题分别和两条异面直线平行两条直线位置关系是定平行定相交定异面相交或异面答案解析画出图形，得到结论如图，分别与异面直线，平行两条直线，是相交关系如图，分别与异面直线，平行两条直线，是异面关系综上可知，应选如图，在正方体中分别是棱，中点求证綊公理等角定理应用探究綊，綊綊綊，解析如图，连接在中，因为，分别为，中点，所以綊同理，綊在正方体中，綊，所以四边形为平行四边形，所以綊，又綊，綊，所以綊取中点，连接则綊又綊，所以綊，所以四边形为平行四边形，所以因为且綊，所以綊，所以四边形为平行四边形，所以，所以同理可证因为与两边分别对应平行，且方向都相反，所以方法探究在证明时，还可以通过证明≌来实现，由于，所以只需要证明在这些边所在直角三角形中，利用勾股定理即可证明规律总结求证两直线平行，目前有两种途径是应用公理，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等二是证明在同平面内，这两条直线无公共点求证角相等是用等角定理二是用三角形全等或相似已知分别是正方体棱中点，求证分析欲证两个角相等，可通过等角定理来实现证明如图所示，连接分别是中点，，且四边形是平行四边形，且又，且四边形是平行四边形同理可证又与两边方向相同，求异面直线所成角如图，是平面外点分别为和中点，且求异面直线和所成角大小探究如何移至同个三角形中找出和所成角解析如图，取中点，连接在中，是中点，是中点，，同理可得，为异面直线与所成角或其补角在中又，即异面直线与所成角为易错警示是否异面直线与所成角，还要检验它值是否在，内若在，则为所求，否则其补角才是所求这是容易忽略步规律总结求异面直线所成角般步骤为找出或作出适合题设角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线若异面直线依附于几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体特殊点，使异面直线转化为相交直线求转化为求个三角形内角，通过解三角形，求出所找角结论设由所求得角大小为若，则为所求若，则为所求求两异面直线所成角大小求两异面直线所成角关键在于作角，总结起来有如下“口诀”中点端点定顶点，平移常用中位线平行四边形柱中见，指出成角很关键求角构造三角形，锐角钝角要明辨平行线若在外，补上原体在外边如果求得角余弦值为负值话，这说明两条异面直线所成角应该是所求角补角，所以在指明所求角时候，应该说“这个角或其补角”即为所求角特别提醒两条异面直线所成角范围，四面体中与成角分别是，中点，求和所成角解析如图，取中点，连接，分别是中点，綊，綊，或补角为与所成角，即或故由等腰知或而由知，就是和所成角从而和所成角为或截面四边形形状判定探索延拓如右图，设分别是四面体棱上点，且求证当时，四边形是平行四边形当时，四边形是梯形探究由平面几何中，所以同理可证因为与两边分别对应平行，且方向都相反，所以方法探究在证明时，还可以通过证明≌来实现，由于，所以只需要证明在这些边所在直角三角形中，利用勾股定理即可证明规律总结求证两直线平行，目前有两种途径是应用公理，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等二是证明在同平面内，这两条直线无公共点求证角相等是用等角定理二是用三角形全等或相似已知分别是正方体棱中点，求证分析欲证两个角相等，可通过等角定理来实现证明如图所示，连接分别是中点，，且四边形是平行四边形，且又，且四边形是平行四边形同理可证又与两边方向相同，求异面直线所成角如图，是平面外点分别为和中点，且求异面直线和所成角大小探究如何移至同个三角形中找出和所成角解析如图，取中点，连接在中，是中点，是中点，，同理可得，为异面直线与所成角或其补角在中又，即异面直线与所成角为易错警示是否异面直线与所成角，还要检验它值是否在，内若在，则为所求，否则其补角才是所求这是容易忽略步规律总结求异面直线所成角般步骤为找出或作出适合题设角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线若异面直线依附于几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体特殊点，使异面直线转化为相交直线求转化为求个三角形内角，通过解三角形，求出所找角结论设由所求得角大小为若，则为所求若，则为所求求两异面直线所成角大小求两异面直线所成角关键在于作角，总结起来有如下“口诀”中点端点定顶点，平移常用中位线平行四边形柱中见，指出成角很关键求角构造三角形，锐角钝角要明辨平行线若在外，补上原体在外边如果求得角余弦值为负值话，这说明两条异面直线所成角应该是所求角补角，所以在指明所求角时候，应该说“这个角或其补角”即为所求角特别提醒两条异面直线所成角范围，四面体中与成角分别是，中点，求和所成角解析如图，取中点，连接，分别是中点，綊，綊，或补角为与所成角，即或故由等腰知或而由知，就是和所成角从而和所成角为或截面四边形形状判定探索延拓如右图，设分别是四面体棱上点，且求证当时，四边形是平行四边形当时，四边形是梯形探究由平面几何中平行线截线段成比例定理不难得出，，从而，然后根据两条线段长度关系证明证明在中，且在中，且，，顶点在由和确定平面内当时故四边形为平行四边形当时，，故四边形是梯形拓展若分别是四面体棱上中点，且，则四边形为拓展若分别是四面体棱上中点，且⊥，则四边形为拓展若分别是四面体棱上中点，且，⊥，则四边形为以上三个问题你会证明吗不妨试菱形矩形正方形设点是直线外定点，过点与成角异面直线有无数条两条至多有两条条错解错因分析错误产生原因是局限在平面内了，而我们现在研究平台是三维空间易错点没有形成立体感考虑问题易出错误区警示思路分析如图，与成角圆锥面上母线有无数条正解已知，过点与直线成等角直线有条无数至多答案当堂检测不平行两条直线位置关系是相交异面平行相交或异面答案解析由于空间两条直线位置关系是平行相交异面，则不平行两条直线位置关系是相交或异面如果两条直线和没有公共点，那么和共面平行异面平行或异面答案解析直线，没有公共点时可能平行，也可能异面沈阳二中月考试题空间中垂直于同条直线两条直线位置关系平行相交异面不确定答案已知，异面直线其中，，则异面直线与所成角为或答案如图所示，在正方体中，分别是中点，求证证明分别是中点，，且四边形是平行四边形，同理可证成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修点直