而找出直线在平面内射影如图，四棱锥底面是边长为正方形，⊥求证⊥平面求四棱锥体积分析利用线面垂直判定定理证明线面垂直分别求出四棱锥底面面积和高计算出该四棱锥体积解析证明因为四棱锥底面是边长为正方形，所以，所以⊥，又⊥，∩，所以⊥平面四棱锥底面积为，因为⊥平面，所以四棱锥高为，所以四棱锥体积为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修点直线平面之间位置关系第二章直线平面垂直判定及其性质第二章直线与平面垂直判定高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习在初中平面几何中能够转化为垂直关系有等腰三角形底边上中线底边菱形对角线互相正方形对角线互相圆直径所对圆角等于在上节，我们已经学习了直线与平面平行判定定理和平面与平面平行判定定理及其应用，线面平行面面平行，则⊥平面中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角如图，为直径，垂直于所在平面，为圆周上任意点，⊥，为垂足求证⊥平面若由，可知，与平面所成角正弦值为规律总结中还可取中点，连结证明⊥平面，则⊥，加上⊥，⊥平面设交于点，过点作交于点，则⊥平面故为与平面所成角由可知，⊥∩，⊥平面不妨设，则，为等腰直角三角形，且是中点⊥∩，≌，为中点，⊥⊥底面，⊥，⊥在中又，≌，得先找出或作出这个角根据条件易得⊥平面故在中，只需过与交点作平行线，则⊥平面，为所求角解析证明连结直综合应用探索延拓设，求与平面所成角正弦值探究要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得⊥，⊥，所以本题得证要求线面角，如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，分别为，中点求证⊥平面线面垂庄高检测如图，在长方体中，则与平面所成角正弦值为答案解析⊥平面，为直线与平面所成角，归结在个三角形中，通过解三角形，求出该角求线面角技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内射影是作角关键，几何图形特征是找射影依据，射影般都是些特殊点，比如中心垂心重心等枣即与平面所成角为规律总结求线面角方法求直线和平面所成角步骤寻找过斜线上点与平面垂直直线连接垂足和斜足间得到斜线在平面上射影，斜线与其射影所成锐角或直角即为所求角把该角，⊥平面，⊂平面，⊥，又∩，⊥平面，垂足为为直线与平面所成角，在中由正方体特性知，直线满足要求解析直线⊥平面，为直线与平面所成角，设，则，连接交于，在正方形中，⊥与平面所成角正切值求直线与平面所成角线面角探究求线面角关键是找出直线在平面内射影，为此须找出过直线上点平面垂线中过作平面垂线，该垂线必与垂直，用直线与平面垂直判定定理证明直线与平面垂直步骤在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直确定这个平面内两条直线是相交直线根据判定定理得出结论在正方体中，求直线以≌，所以⊥，又∩，所以⊥平面因为，为中点，所以⊥，由知⊥，又因为∩，所以⊥平面规律总结利是可以利用垂直关系，要证，需设法在平面内找两条相交直线与垂直，而结论可利用证明因为，是中点，所以⊥在中由已知，所以是可以利用垂直关系，要证，需设法在平面内找两条相交直线与垂直，而结论可利用证明因为，是中点，所以⊥在中由已知，所以≌，所以⊥，又∩，所以⊥平面因为，为中点，所以⊥，由知⊥，又因为∩，所以⊥平面规律总结利用直线与平面垂直判定定理证明直线与平面垂直步骤在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直确定这个平面内两条直线是相交直线根据判定定理得出结论在正方体中，求直线与平面所成角正切值求直线与平面所成角线面角探究求线面角关键是找出直线在平面内射影，为此须找出过直线上点平面垂线中过作平面垂线，该垂线必与垂直，由正方体特性知，直线满足要求解析直线⊥平面，为直线与平面所成角，设，则，连接交于，在正方形中，⊥，⊥平面，⊂平面，⊥，又∩，⊥平面，垂足为为直线与平面所成角，在中即与平面所成角为规律总结求线面角方法求直线和平面所成角步骤寻找过斜线上点与平面垂直直线连接垂足和斜足间得到斜线在平面上射影，斜线与其射影所成锐角或直角即为所求角把该角归结在个三角形中，通过解三角形，求出该角求线面角技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内射影是作角关键，几何图形特征是找射影依据，射影般都是些特殊点，比如中心垂心重心等枣庄高检测如图，在长方体中，则与平面所成角正弦值为答案解析⊥平面，为直线与平面所成角如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，分别为，中点求证⊥平面线面垂直综合应用探索延拓设，求与平面所成角正弦值探究要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得⊥，⊥，所以本题得证要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得⊥平面故在中，只需过与交点作平行线，则⊥平面，为所求角解析证明连结，≌，为中点，⊥⊥底面，⊥，⊥在中又，≌，⊥∩，⊥平面不妨设，则，为等腰直角三角形，且是中点⊥∩，⊥平面设交于点，过点作交于点，则⊥平面故为与平面所成角由可知由，可知，与平面所成角正弦值为规律总结中还可取中点，连结证明⊥平面，则⊥，加上⊥，则⊥平面中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角如图，为直径，垂直于所在平面，为圆周上任意点，⊥，为垂足求证⊥平面若⊥，垂足为，求证⊥探究根据⊥平面，证得⊥平面，再利用线面垂直判定定理证明⊥平面而证线线垂直，可先证线面垂直证明为直径，⊥又⊥平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥又⊥，且∩，又⊥平面由知⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥规律总结证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理条件已知四边形中，四个角，，，都是直角，求证四边形是矩形错解四边形中，四个角，，，都是直角，四边形是矩形错因分析把当作平面四边形未加共面证明就得出结论易错点在几何题证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形误区警示思路分析四边形有两种存在形式平面四边形和空间四边形，需分类证明正解当四边形是平面图形时，它显然是矩形若四边形是空间四边形时，可设点在平面之外如图，过点作⊥平面，则⊥面，同理，又，，又，所成角正弦值探究要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得⊥，⊥，所以本题得证要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得⊥平面故在中，只需过与交点作平行线，则⊥平面，为所求角解析证明连结，≌，为中点，⊥⊥底面，⊥，⊥在中又，≌，⊥∩，⊥平面不妨设，则，为等腰直角三角形，且是中点⊥∩，⊥平面设交于点，过点作交于点，则⊥平面故为与平面所成角由可知由，可知，与平面所成角正弦值为规律总结中还可取中点，连结证明⊥平面，则⊥，加上⊥，则⊥平面中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角如图，为直径，垂直于所在平面，为圆周上任意点，⊥，为垂足求证⊥平面若⊥，垂足为，求证⊥探究根据⊥平面，证得⊥平面，再利用线面垂直判定定理证明⊥平面而证线线垂直，可先证线面垂直证明为直径，⊥又⊥平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥又⊥，且∩，又⊥平面由知⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥规律总结证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理条件已知四边形中，四个角，，，都是直角，求证四边形是矩形错解四边形中，四个角，，，都是直角，四边形是矩形错因分析把当作平面四边形未加共面证明就得出结论易错点在几何题证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形误区警示思路分析四边形有两种存在形式平面四边形和空间四边形，需分类证明正解当四边形是平面图形时，它显然是矩形若四边形是空间四边形时，可设点在平面之外如图，过点作⊥平面，则⊥面，同理，又，，又，而事实上矛盾点在平面内，即四边形是矩形如图所示，，点在，所确定平面外，⊥于点，⊥于点求证⊥错解⊥，，⊥，⊥平面，⊥错因分析上述证法错误在于没有正确使用线面垂直判定定理，由⊥，⊥，得⊥，忽略了与不相交正解⊥，，⊥又⊥，且∩，⊥平面又⊂平面，⊥当堂检测若直线与平面内两条直线垂直，则直线与平面位置关系是垂直平行斜交或在平面内以上均有可能答案解析与内两条直线垂直，而这两条直线位置关系不确定，与可能平行垂直斜交或在内如果条直线垂直于个平面内三角形两边梯形两边圆两条直径正六边形两条边则能保证该直线与平面垂直答案解析三角形两边，圆两条直径定是相交直线，而梯形两边，正六边形两条边不定相交，所以保证直线与平面垂直是下列命题中正确个数是如果直线与平面内无数条直线垂直，则⊥如果直线与平面内条直线垂直，则⊥如果直线不垂直于，则内没有与垂直直线如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直答案解析只有正确在正方体中，直线与平面所成角等于答案解析如图所示，因为正方体中，⊥平面，所以即为在平面中射影，即为直线与平面所成角由题意知，，故所求角为规律总结求直线与平面所成角关键是找出平面垂线，从而找出直线在平面内射影如图，四棱锥底面是边长为正方形，⊥求证⊥平面求四棱锥体积分析利用线面垂直判定定理证明线面垂直分别求出四棱锥底面面积和高计算出该四棱锥体积解析证明因为四棱锥底面是边长为正方形，所以，所以⊥，又⊥，∩，所以⊥平面四棱锥底面积为，因为⊥平面，所以四棱锥高为，所以四棱锥体积为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修点直线平面之间位置关系第二章直线平面垂直判定及其性质第二章直线与平面垂直判定高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习在初中平面几何中能够转化为垂直关系有等腰三角形底边上中线底边菱形对角线互相正方形对角线互相圆直径所对圆角等于在上节，我们已经学习了直线与平面平行判定定理和平面与平面平行判定定理及其应用，线面平行面面平行判定最终归结为线线平行判定，并且研究了线面平行和面面平行三种判定方法定义法判定定理反证法知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分直线与平面垂直自主预习定义如果直线与平面内直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直记法⊥有关概念直线叫做平面，平面叫做直线它们唯公共点叫做图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面平行四边形边垂直任意条垂线垂面垂足破疑点定义中“任意条直线”这词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语直线与平面垂直是直线与平面相交种特殊形式由直线与平面垂直定义，得如果条直线垂直于个平面，那么这条直线垂直于该平面内任意条直线判定定理文字语言条直线与个平面内两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言⊥，⊥，⊂，⊂，⇒⊥作用判断直线与平面相交∩垂直破疑点直线与平面垂直判定定理告诉我们可以通过直线间垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明条直线和个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可直线和平面所成角定义条直