标当交点也在上，即交点坐标也满足方程，可解得值不论取何值，直线过定点答案，解析把直线方程整理为，解方程组，得，所以，不论取何值，直线过定点，求经过两条直线和交点且与直线平行直线方程解析由方程组解得，所求直线和直线平行，直线斜率，根据点斜式可得即所求直线方程为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修直线与方程第三章直线交点坐标与距离公式第三章两条直线交点坐标高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习二元次方程组解法代入消元法平面上两条直线位置关系直线，直线，⊥条件为，与平行或重合条件为，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解若三条直线交于点，由解得将，交点,代入方程解得或若面，只考虑三条直线相交于点而忽视了任意两条平行或重合情况由处得，错选，只考虑了三条直线斜率不相等条件，忽视三条直线相交于点情况解析因为三条直线有三个不同交点，需三条直线两两相交且不共点为且且错解选或选易错点含参数两条直线相交因考虑问题不全面而致误误区警示错因分析在解题过程中，若由处得且，错选，原因在于考虑问题不全直直线系方程，要先求交点，求交点有时也不繁杂，适当选择不同方法求解，有助于训练自己解题思路，使自己思路更宽阔若三条直线共有三个不同交点，则取值范围，故设所求直线方程为而此直线过点所以，所以故所求直线方程为规律总结使用过两直线交点直线系方程避免了求两条直线交点，但解题过程不定简捷若使用与直线垂故所求直线方程为，即解法二将两直线方程联立得解得即两直线交点坐标为,由于所求直线与直线垂直解解析解法设过两直线交点直线方程为整理为般式，得，其斜率为而直线斜率为，由垂直条件可得，解得直线交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点繁杂计算求过两直线与交点且垂直于直线直线方程分析既可以用通过两直线交点直线系求解，也可以先解出两直线交点，然后再求其中，为参数，且，不同时为上面直线系方程可改写成其中为参数这个参数形式方程在解题中较为常用求直线方程问题时，如果知道所求直线过已知两程为，即规律总结过两条直线，不同时为与，不同时为交点直线系方程为解法二过与交点，设方程为，即，与直线平行，，方延拓解析解法解方程组，得与交点为直线过点,且与直线平行，设方程为，把,代入得，所求方程为求经过，交点且与已知直线平行直线方程探究可先求与交点，再求过交点与已知直线平行直线，也可以先写出所求直线直线系方程，再利用平行条件确定参数值用过两直线交点直线系方程解题探索解得，故选由得，对任意实数恒成立，，，故选已知直线，限第二象限第三象限第四象限答案解析方法取得，取得，故选方法直线方程变形为，对任意恒成立得解即为定点坐标直线恒过定点山东潍坊高上学期期末不论为何实数，直线恒过第象等号左边为形式，然后令参数系数和不含参数项分别为零，解得此方程组解即为已知含参直线恒过定点即将所给方程化成形式，方程组，等号左边为形式，然后令参数系数和不含参数项分别为零，解得此方程组解即为已知含参直线恒过定点即将所给方程化成形式，方程组，解即为定点坐标直线恒过定点山东潍坊高上学期期末不论为何实数，直线恒过第象限第二象限第三象限第四象限答案解析方法取得，取得，故选方法直线方程变形为，对任意恒成立得解得，故选由得，对任意实数恒成立，，，故选已知直线，求经过，交点且与已知直线平行直线方程探究可先求与交点，再求过交点与已知直线平行直线，也可以先写出所求直线直线系方程，再利用平行条件确定参数值用过两直线交点直线系方程解题探索延拓解析解法解方程组，得与交点为直线过点,且与直线平行，设方程为，把,代入得，所求方程为解法二过与交点，设方程为，即，与直线平行，，方程为，即规律总结过两条直线，不同时为与，不同时为交点直线系方程为其中，为参数，且，不同时为上面直线系方程可改写成其中为参数这个参数形式方程在解题中较为常用求直线方程问题时，如果知道所求直线过已知两直线交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点繁杂计算求过两直线与交点且垂直于直线直线方程分析既可以用通过两直线交点直线系求解，也可以先解出两直线交点，然后再求解解析解法设过两直线交点直线方程为整理为般式，得，其斜率为而直线斜率为，由垂直条件可得，解得故所求直线方程为，即解法二将两直线方程联立得解得即两直线交点坐标为,由于所求直线与直线垂直，故设所求直线方程为而此直线过点所以，所以故所求直线方程为规律总结使用过两直线交点直线系方程避免了求两条直线交点，但解题过程不定简捷若使用与直线垂直直线系方程，要先求交点，求交点有时也不繁杂，适当选择不同方法求解，有助于训练自己解题思路，使自己思路更宽阔若三条直线共有三个不同交点，则取值范围为且且错解选或选易错点含参数两条直线相交因考虑问题不全面而致误误区警示错因分析在解题过程中，若由处得且，错选，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于点而忽视了任意两条平行或重合情况由处得，错选，只考虑了三条直线斜率不相等条件，忽视三条直线相交于点情况解析因为三条直线有三个不同交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解若三条直线交于点，由解得将，交点,代入方程解得或若，由，解，当时，与重合若，则由，解得，当，与重合若，则得，当时，与重合综上，当时，三条直线重合当时，当时，三条直线交于点，所以要使三条直线共有三个交点，需且正解若三条直线,和共有三个不同交点，则取值范围为答案且，，解析解方程组得即两条直线交点坐标为故实数满足，，，解得，，，即实数满足条件为且，，当堂检测下列直线中，与直线相交直线为答案直线与相交，则交点是答案解析由方程组解得即与交点坐标为,已知直线，则与交点为若三直线相交于同点，则答案，解析联立与方程，解方程组得交点坐标当交点也在上，即交点坐标也满足立得解得，故选由得，对任意实数恒成立，，，故选已知直线，求经过，交点且与已知直线平行直线方程探究可先求与交点，再求过交点与已知直线平行直线，也可以先写出所求直线直线系方程，再利用平行条件确定参数值用过两直线交点直线系方程解题探索延拓解析解法解方程组，得与交点为直线过点,且与直线平行，设方程为，把,代入得，所求方程为解法二过与交点，设方程为，即，与直线平行，，方程为，即规律总结过两条直线，不同时为与，不同时为交点直线系方程为其中，为参数，且，不同时为上面直线系方程可改写成其中为参数这个参数形式方程在解题中较为常用求直线方程问题时，如果知道所求直线过已知两直线交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点繁杂计算求过两直线与交点且垂直于直线直线方程分析既可以用通过两直线交点直线系求解，也可以先解出两直线交点，然后再求解解析解法设过两直线交点直线方程为整理为般式，得，其斜率为而直线斜率为，由垂直条件可得，解得故所求直线方程为，即解法二将两直线方程联立得解得即两直线交点坐标为,由于所求直线与直线垂直，故设所求直线方程为而此直线过点所以，所以故所求直线方程为规律总结使用过两直线交点直线系方程避免了求两条直线交点，但解题过程不定简捷若使用与直线垂直直线系方程，要先求交点，求交点有时也不繁杂，适当选择不同方法求解，有助于训练自己解题思路，使自己思路更宽阔若三条直线共有三个不同交点，则取值范围为且且错解选或选易错点含参数两条直线相交因考虑问题不全面而致误误区警示错因分析在解题过程中，若由处得且，错选，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于点而忽视了任意两条平行或重合情况由处得，错选，只考虑了三条直线斜率不相等条件，忽视三条直线相交于点情况解析因为三条直线有三个不同交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解若三条直线交于点，由解得将，交点,代入方程解得或若，由，解，当时，与重合若，则由，解得，当，与重合若，则得，当时，与重合综上，当时，三条直线重合当时，当时，三条直线交于点，所以要使三条直线共有三个交点，需且正解若三条直线,和共有三个不同交点，则取值范围为答案且，，解析解方程组得即两条直线交点坐标为故实数满足，，，解得，，，即实数满足条件为且，，当堂检测下列直线中，与直线相交直线为答案直线与相交，则交点是答案解析由方程组解得即与交点坐标为,已知直线，则与交点为若三直线相交于同点，则答案，解析联立与方程，解方程组得交点坐标当交点也在上，即交点坐标也满足方程，可解得值不论取何值，直线过定点答案，解析把直线方程整理为，解方程组，得，所以，不论取何值，直线过定点，求经过两条直线和交点且与直线平行直线方程解析由方程组解得，所求直线和直线平行，直线斜率，根据点斜式可得即所求直线方程为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修直线与方程第三章直线交点坐标与距离公式第三章两条直线交点坐标高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习二元次方程组解法代入消元法平面上两条直线位置关系直线，直线，⊥条件为，与平行或重合条件为，与相交条件为知识衔接加减消元法平行重合相交两条直线交点坐标求法两直线方程联立组成方程组，此方程组解就是这两条直线交点坐标，因此解方程组即可应用可以利用两直线判断两直线位置关系般地，将直线和直线方程联立，得方程组自主预习交点个数，当方程组解时，和相交，方程组解就是交点坐标当方程组解时，与平行当方程组解时，与重合有唯无有无数组破疑点若两直线方程组成方程组有解，则这两条直线不定相交，还可能有重合知识拓展直线系方程具有共同属性类直线集合称为直线系，表示直线系方程叫做直线系方程它方程特点是除含坐标变量，以外，还含有特定系数也称参变量共点直线系方程经过两直线，交点直线系方程为，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线平行直线系方程与直线平行直线系方程是，是参变量垂直直线系方程与，垂直直线系方程是特殊平行线与过定点，直线系方程当斜率定而变动时，表示斜率为平行直线系，表示过定点，直线系不含直线在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程直线