豫东豫北十所名校联考已知椭圆左右焦点分别为为椭圆上点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率为或答案解析当为等腰直角三角形时，有或，解得或南昌调研在平面直角坐标系中，是原点，是平面内动点，若，则点轨迹方程是答案解析设则又因为，所以，整理得抚顺市六校联合体期中已知点分别是双曲线左右焦点，过且垂直于轴直线与双曲线交于两点，若为锐角三角形，则该双曲线离心率取值范围是答案,解析双曲线关于轴对称，两点关于轴对称为锐角三角形⇔为锐角⇔⇔，即，又已知是双曲线直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线为轴，也过点，综上所述直线恒过定点，方法规律总结求解曲线过定点问题，般可建立含参数曲线方程，然后说明无论参数取何值曲线过定，因为为中点，所以，即所以，因为直线⊥，所以，所以直线方程为，即，显然直线恒过定点，当线斜率存在时，设直线方程为，由，，得，所以标，若不是请说明理由解析因为点,在椭圆上，所以，所以，因为椭圆离心率为，所以，即，解得,所以椭圆方程为设当直过点且椭圆离心率为求椭圆方程若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，且为线段中点，再过作直线⊥试问直线是否恒过定点，若是则求出该定点坐点重合，满足题意故动点轨迹方程为方法规律总结求轨迹方程常用方法有直译法定义法代入法参数法交轨迹等定点定值最值问题河北衡水中学模拟已知椭圆在椭圆上，得，当时又代入式，得当时，点与坐标原是坐标原点，点满足，当直线绕点旋转时，求动点轨迹方程解析设，点，这样就建立了中点坐标与直线斜率之间关系，从而使问题能得以解决轨迹问题已知椭圆方程为，过点,直线交椭圆于点，而不求，从而简化运算利用“点差法”求解，即若椭圆方程为，直线与椭圆交于点，且弦中点为则，由得，，即又椭圆方程为方法规律总结关于中点弦问题，般采用两种方法解决联立方程组，消元，利用根与系数关系进行设，且则，得即，中点为，即，此时由得椭圆方程为解法二设椭圆方程为，直线与椭圆交于两点程，再与解方程组即可得，解法二由“点差法”求解解析解法设椭圆方程为，且由，消去得或“中点弦”问题焦点分别为,和，椭圆截直线所得弦中点横坐标为，求此椭圆方程分析解法设出椭圆方程，再与直线方程联立消去，由中点横坐标为建立方抛物线对称轴平行或重合时，都只有个交点此时直线与双曲线抛物线属相交情况求圆锥曲线被直线所截弦长常用方法是设而不求，结合根与系数关系，利用弦长公式求弦长弦长公式，，通过消去也可以消去得到方程进行讨论这时要注意考虑和两种情况，对双曲线和抛物线而言，个公共点情况除，外，直线与双曲线渐近线平行或直线与抛，，通过消去也可以消去得到方程进行讨论这时要注意考虑和两种情况，对双曲线和抛物线而言，个公共点情况除，外，直线与双曲线渐近线平行或直线与抛物线对称轴平行或重合时，都只有个交点此时直线与双曲线抛物线属相交情况求圆锥曲线被直线所截弦长常用方法是设而不求，结合根与系数关系，利用弦长公式求弦长弦长公式或“中点弦”问题焦点分别为,和，椭圆截直线所得弦中点横坐标为，求此椭圆方程分析解法设出椭圆方程，再与直线方程联立消去，由中点横坐标为建立方程，再与解方程组即可得，解法二由“点差法”求解解析解法设椭圆方程为，且由，消去得即，此时由得椭圆方程为解法二设椭圆方程为，直线与椭圆交于两点，且则，得即，中点为，即又椭圆方程为方法规律总结关于中点弦问题，般采用两种方法解决联立方程组，消元，利用根与系数关系进行设而不求，从而简化运算利用“点差法”求解，即若椭圆方程为，直线与椭圆交于点，且弦中点为则，由得，这样就建立了中点坐标与直线斜率之间关系，从而使问题能得以解决轨迹问题已知椭圆方程为，过点,直线交椭圆于点，是坐标原点，点满足，当直线绕点旋转时，求动点轨迹方程解析设，点在椭圆上，得，当时又代入式，得当时，点与坐标原点重合，满足题意故动点轨迹方程为方法规律总结求轨迹方程常用方法有直译法定义法代入法参数法交轨迹等定点定值最值问题河北衡水中学模拟已知椭圆过点且椭圆离心率为求椭圆方程若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，且为线段中点，再过作直线⊥试问直线是否恒过定点，若是则求出该定点坐标，若不是请说明理由解析因为点,在椭圆上，所以，所以，因为椭圆离心率为，所以，即，解得,所以椭圆方程为设当直线斜率存在时，设直线方程为，由，，得，所以，因为为中点，所以，即所以，因为直线⊥，所以，所以直线方程为，即，显然直线恒过定点，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线为轴，也过点，综上所述直线恒过定点，方法规律总结求解曲线过定点问题，般可建立含参数曲线方程，然后说明无论参数取何值曲线过定点，有时可先通过特殊情形找出定点，再进行证明如右图所示，直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线与直线交于点求点坐标当为抛物线上位于线段下方含，动点时，求面积最大值分析联立直线和抛物线方程，从函数角度入手解决问题解析解方程组得即从而中点为,由，得线段垂直平分线方程为令，得，直线方程为，设点到直线距离为抛物线上位于线段下方点，且不在直线上或函数在区间,上单调递增，当时，面积取到最大值设，是椭圆上两点，已知若且椭圆离心率，短轴长为，为坐标原点求椭圆方程若直线过椭圆焦点，为半焦距，求直线斜率值试问面积是否为定值如果是，请给予证明如果不是，请说明理由解析⇒，椭圆方程为由题意，设方程为，由消去得，由已知解得当直线斜率不存在时，即由得，又，在椭圆上，故当直线斜率存在时设方程为，由，得，，代入整理得故综合可知，三角形面积为定值自主演练郑州模拟如果点，在以点为焦点抛物线上，则答案解析根据抛物线定义点到点距离等于点到其准线距离，故正确沈阳市质检已知中心在坐标原点，焦点在轴上双曲线渐近线方程为，则此双曲线离心率为答案解析焦点在轴上，离心率为为椭圆离心率为，所以，即，解得,所以椭圆方程为设当直线斜率存在时，设直线方程为，由，，得，所以，因为为中点，所以，即所以，因为直线⊥，所以，所以直线方程为，即，显然直线恒过定点，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线为轴，也过点，综上所述直线恒过定点，方法规律总结求解曲线过定点问题，般可建立含参数曲线方程，然后说明无论参数取何值曲线过定点，有时可先通过特殊情形找出定点，再进行证明如右图所示，直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线与直线交于点求点坐标当为抛物线上位于线段下方含，动点时，求面积最大值分析联立直线和抛物线方程，从函数角度入手解决问题解析解方程组得即从而中点为,由，得线段垂直平分线方程为令，得，直线方程为，设点到直线距离为抛物线上位于线段下方点，且不在直线上或函数在区间,上单调递增，当时，面积取到最大值设，是椭圆上两点，已知若且椭圆离心率，短轴长为，为坐标原点求椭圆方程若直线过椭圆焦点，为半焦距，求直线斜率值试问面积是否为定值如果是，请给予证明如果不是，请说明理由解析⇒，椭圆方程为由题意，设方程为，由消去得，由已知解得当直线斜率不存在时，即由得，又，在椭圆上，故当直线斜率存在时设方程为，由，得，，代入整理得故综合可知，三角形面积为定值自主演练郑州模拟如果点，在以点为焦点抛物线上，则答案解析根据抛物线定义点到点距离等于点到其准线距离，故正确沈阳市质检已知中心在坐标原点，焦点在轴上双曲线渐近线方程为，则此双曲线离心率为答案解析焦点在轴上，离心率为，故选河南淇县中模拟椭圆左右顶点分别是，左右焦点分别是若成等比数列，则此椭圆离心率为答案解析由条件知由条件知，豫东豫北十所名校联考已知椭圆左右焦点分别为为椭圆上点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率为或答案解析当为等腰直角三角形时，有或，解得或南昌调研在平面直角坐标系中，是原点，是平面内动点，若，则点轨迹方程是答案解析设则又因为，所以，整理得抚顺市六校联合体期中已知点分别是双曲线左右焦点，过且垂直于轴直线与双曲线交于两点，若为锐角三角形，则该双曲线离心率取值范围是答案,解析双曲线关于轴对称，两点关于轴对称为锐角三角形⇔为锐角⇔⇔，即，又已知是双曲线左焦点，是双曲线右支上动点，求最小值解析由双曲线定义得，其中为双曲线右焦点原题可转化为在右支上求点，使最小，而最小值为当在同直线上时，已知双曲线右支上弦过右焦点，问是否存在以为直径圆过原点若存在，求出直线斜率值若不存在，请说明理由解析假设存在满足题意直线设则由已知得，⊥，故，所以⇒，所以，联立，得，无解，所以这样直线不存在成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第二章章末归纳总结第二章知识结构误区警示自主演练知识梳理题型探究知识梳理坐标法是研究圆锥曲线问题基本方法，它是用代数方法研究几何问题本章介绍了研究圆锥曲线问题基本思路，建立直角坐标系，设出点坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线几何性质本章内容主要有两部分部分是求椭圆双曲线抛物线标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求另部分是研究椭圆双曲线抛物线几何性质，并利用它们几何性质解决有关几何问题学习本章应深刻体会数形结合思想，转化思想，函数与方程思想及待定系数法等重要数学思想和方法求轨迹方程方法常用有直接法定义法代入法，要注意题目中限制条件，特别是隐含条件发掘，直线与圆锥曲线位置关系问题，通常用判别式法要注意有关弦长问题中韦达定理应用，需特别注意是，直线平行于抛物线轴时与抛物线只有个交点，直线平行于双曲线渐近线时与双曲线只有个交点下表是对焦点在轴上椭圆双曲线抛物线列表做整理你可以仿照对焦点在轴上情况自己列表整理知识结构误区警示椭圆定义中，应有双曲线定义中，应有抛物线定义中，定点不在定直线上椭圆中几何量满足，双曲线中几何量满足椭圆离心率双曲线离心率，，抛物线离心率求圆锥曲线标准方程时，定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适形式由标准方程判断椭圆双曲线焦点位置时，椭圆看分母大小，双曲线看系数符号双曲线渐近线方程为双曲线渐近线方程为题型探究求过点,且与圆相内切圆圆心轨迹方程圆锥曲线定义应用解析将圆方程变形为，圆心为半径为如图，设动圆圆心坐标为由于动圆与已知圆相内切，设切点为，则，又动圆过点则根据椭圆定义知，点轨迹是以点,和点,为焦点椭圆，其中故所求圆心轨迹方程为在中，动点满足，求点轨迹方程分析由已知条件，可以考虑利用正弦定理转化为三角形边关系，再根据双曲线定义即可写出点轨迹方程解析在中，由及正弦定理，得，