注当或时，通过对上式右端前四项系数及两个常数项作恰当变换，该定理仍然成立。引理引理设函数在上连续非减。若，则去掉个集合后恒有,且线性测度不超过。由上面两个引理，我们估计余项得到如下定理定理设是开平面上非常数亚纯函数由定理给出。当级为有穷时，有重庆大学硕士学位论文预备知识当级为无穷时，有其中是个线性测度为有穷关于集合。注设是非常数亚纯函数，文中所出现,这个量均是指满足任意函数，可能除去个关于有有穷线性测度集合。根据定理，第二基本定理可以写成下面更为即不计重数。对于，引进了以下几个函数定义用,表示正对数在上平均值。称,是均值函数，也记为,。同样定义在值处均值函数也记为,。定义称是极点计数函数。,有时也记为,或,。同样可以定义在值处计数函数为重庆大学硕士学位论文预备知识。,有时也记为,或,。定义称是极点精简计数函数。,有时也记为,或者,。再定义在处精简计数函数为。,有时也记为,或者,。定义记,，称,为特征函数同样可以定义特征函数为,。显然，特征函数是非负。为了讨论有限个亚纯函数积与和特征函数之间联系，我们给出下面几个性质设,为内亚纯函数，对于有,，于是可得出。和接下来，再介绍与特征函数,有关几个性质,是关于非减函数,也是关于凸函数设是开平面上非常数亚纯函数，则设是开平面上超越亚纯函数，则设是开平面上非常数亚纯函数，则是有理函数充分必要条件是设是内亚纯函数，，其中,是有穷复常重庆大学硕士学位论文预备知识数，且，则对有。设是开平面上非常数亚纯函数，，其中,是有穷复数，则,。最后，给出亚纯函数下级和级定义定义设是开平面上亚纯函数，记和，称和分别为下级和级。值分布论基本定理我们首先给出公式其证明可参见，它是理论基础，对该理论起着举足轻重作用。定理设函数在上亚纯与,分别是在内零点与极点。若为内不与,相重任意点，则。特别地，在定理条件下，若在上没有零点和极点，则对任意有，上式称为公式若则，该式称为公式若或，设在原点处展式为,，则有,此式是公式般形式。在学习了特征函数定义后，我们可以把该式简重庆大学硕士学位论文预备知识写为。定理第基本定理设在内亚纯，是任有限复数，则对有其中,，且是在原点处展式中第个非零系数。上式通常简记为。定理第二基本定理设是开平面上非常数亚纯函数是个互异复数可以为无穷，则,，其中,。为了估计上述定理中余项我们需要下面两个引理其详细证明可参阅，或引理对数导数引理设是开平面上非常数亚纯函数。若和，则对有。注当或时，通过对上式右端前四项系数及两个常数项作恰当变换，该定理仍然成立。引理引理设函数在上连续非减。若，则去掉个集合后恒有,且线性测度不超过。由上面两个引理，我们估计余项得到如下定理定理设是开平面上非常数亚纯函数由定理给出。当级为有穷时，有重庆大学硕士学位论文预备知识当级为无穷时，有其中是个线性测度为有穷关于集合。注设是非常数亚纯函数，文中所出现,这个量均是指满足任意函数，可能除去个关于有有穷线性测度集合。根据定理，第二基本定理可以写成下面更为即这与式矛盾。综上所述，若，就必有，即定理成立。重庆大学硕士学位论文致谢致谢衷心感谢导师李江涛教授。在论文写作期间，李老师给出独到见解和研究技巧让我找到了自己研究方向，确定了论文选题和整体框架。论文完成离不开李老师谆谆教导和反复审阅。李老师务实教学态度和勤奋工作作风为即将踏入工作我树立了好榜样李老师严谨科研思路和独到学术见解激发了我对学习热情。在此，向导师表示深深敬意！衷心感谢我父母，没有他们关心和信任，我学业不可能顺利完成。衷心感谢传授给我知识和给予我帮助所有老师。同时，向三年里与我共同学习相互探讨给与我关心同学致以真诚谢意。最后，衷心感谢参加本次答辩所有教授和专家！李平二五年四月于重庆重庆大学硕士学位论文参考文献参考文献,杨乐值分布理论及其新研究北京科学出版社,仪洪勋,杨重骏亚纯函数唯性理论北京科学出版社,张广厚整函数和亚纯函数理论北京科学出版社,柏盛桄整函数与亚纯函数武汉华中师范大学出版社林秀清,邱凎俤整函数及其导数唯性定理数学研究杨重骏,仪洪勋具有亏值亚纯函数唯性定理数学学报,重庆大学硕士学位论文参考文献,重庆大学硕士学位论文附录附录作者在攻读硕士学位期间发表论文目录李平,李江涛关于整函数及其微分多项式唯性北京中国科技论文在线,涉及线性微分多项式整函数唯性作者李平学位授予单位重庆大学引用本文格式李平涉及线性微分多项式整函数唯性学位论文硕士即不计重数。对于，引进了以下几个函数定义用,表示正对数在上平均值。称,是均值函数，也记为,。同样定义在值处均值函数也记为,。定义称是极点计数函数。,有时也记为,或,。同样可以定义在值处计数函数为重庆大学硕士学位论文预备知识。,有时也记为,或,。定义称是极点精简计数函数。涉及线性微分多项式整函数唯性重庆大学硕士学位论文学术学位学生姓名李平指导教师李江涛教授专业基础数学学科门类理学重庆大学数学与统计学院二五年四月,重庆大学硕士学位论文中文摘要摘要二十世纪二十年代，芬兰数学家创立了值分布理论，这是二十世纪最伟大数学成就之。亚纯函数唯性理论作为值分布理论重要研究方向，直为众多数学家所关注，并取得了系列重要研究成果。本文主要对两个整函数和它们线性微分多项式具有两个公共值唯性问题进行了研究，在涉及亏量限制条件下证明了三个唯性定理，所得结果推广和改进了已有些结论。关键词线性微分多项式，唯性，整函数，亏值重庆大学硕士学位论文英文摘要,重庆大学硕士学位论文目录目录中文摘要英文摘要绪言预备知识值分布论简介值分布论基本定义值分布论基本定理亚纯函数唯性理论中常用记号概念和结果涉及线性微分多项式整函数唯性本文主要结果及相关背景几个重要引理定理证明定理证明致谢参考文献附录作者在攻读硕士学位期间发表论文目录重庆大学硕士学位论文绪言绪言亚纯函数唯性理论是复分析研究内容个重要分支，主要探讨在何种情况下只存在个亚纯函数满足所给条件以及在给定条件下如何确定亚纯函数之间联系。二十世纪初，芬兰数学家通过对公式研究，巧妙地引入了特征函数这概念，在对亚纯函数间特征函数关系研究基础上创立了值分布理论，得到了两个经典定理，即五值定理和四值定理。此后，人们就开始寻求用较少条件来确定函数间关系，国内外很多杰出数学家，如熊庆来，杨乐，杨重骏，仪洪勋等人在这领域取得了系列令人瞩目成果。长久以来，随着值分布理论不断发展和完善，日渐显示出其与现代核心数学很多分支领域有着紧密联系，特别是在复微分方程若干问题研究中，该理论不但为之提供了重要研究工具，也使得该学科发展充满生机。整函数及其导数具有公共值唯性问题是值分布理论个重要研究课题，该研究由和杨重骏首开先河，此后很多数学工作者对此问题分别从不同角度进行了研究，不断深入，将对导数研究拓展到对微分多项式研究，对整函数研究推广到对亚纯函数研究，得到了系列有意义唯性定理。本论文对整函数与其线性微分多项式具有两个公共值唯性问题进行了些探讨和研究，在涉及亏量限制条件下证明了几个唯性定理，所得结果推广和改进了已有些结论。重庆大学硕士学位论文预备知识预备知识值分布论简介在本节中，我们先给出值分布理论中些标准记号和基本结果。然后再扼要介绍亚纯函数唯性理论中与本论文有关常用符号基本概念和结果。详情可参见文献。值分布论基本定义我们首先给出正对数定义。定义对于，定义正对数如下。根据正对数定义容易推出对于任意正数，有为有穷复数其中,。为有穷复数其中,以下设为任意复数，是定义在圆上亚纯函数。用,表示在上极点数，重级极点计算重数用,表示在上所有互异极点数即不计重数用,表示在上零点数，重级零点计算重数用,表示在上所有互异零点数即不计重数。对于，引进了以下几个函数定义用,表示正对数在上平均值。称,是均值函数，也记为,。同样定义在值处均值函数也记为,。定义称是极点计数函数。,有时也记为,或,。同样可以定义在值处计数函数为重庆大学硕士学位论文预备知识。,有时也记为,或,。定义称是极点精简计数函数。,有时也记为,或者,。再定义在处精简计数函数为。,有时也记为,或者,。定义记,，称,为特征函数同样可以定义特征函数为,。显然，特征函数是非负。为了讨论有限个亚纯函数积与和特征函数之间联系，我们给出下面几个性质设,为内亚纯函数，对于有,，于是可得出。和接下来，再介绍与特征函数,有关几个性质,是关于非减函数,也是关于凸函数设是开平面上非常数亚纯函数，则设是开平面上超越亚纯函数，则设是开平面上非常数亚纯函数，则是有理函数充分必要条件是设是内亚纯函数，，其中,是有穷复常重庆大学硕士学位论文预备知识数，且，则对有。设是开平面上非常数亚纯函数，，其中,是有穷复数，则,。最后，给出亚纯函数下级和级定义定义设是开平面上亚纯函数，记和，称和分别为下级和级。值分布论基本定理我们首先给出公式其证明可参见，它是