幅度函数的平方用下式给出  式中通带频率取为，是系统函数的阶数。由上式可计算出 时，时，，即在通带频率处衰减约，故 有时称巴特沃思滤波器通带频率为时，。 式描述的的幅频特性如图所示，它具有以下特点   图巴特沃思函数的幅频特性 为单调减函数，愈大，愈接近理想低通滤波特性。当 时，频率每增加十倍，特性曲线下降，即以的 速率下降。 可以证明，      ，这表明在通 带内具有最大平直特性。 下面根据式求系统函数。令，有  上式极点为 ， 图给出了和时的极点分布，可见，个极点以为间隔均匀 分布在半径为的圆周上。   图式的极点分布 当取，时，用式求得的极点位于左半平面，用这些极点 可构成稳定的。以为例，有  则为                                  按以上方法，还可求得其他阶数的，巴特沃思系统函数的分母多项式 如表所示。表巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数  根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼 近函数及其有关表格和曲线是按通带频率给出的，因此，需要对 频率变量做尺度变换，将原始通带频率折算为，相应地将原始 阻带角频率折算为，这过程有时称之为频率归化。将通 带频率为的低通滤波器转化为其他通带频率低通滤波器的过程为去归 化，可称为低通到低通变换，如图所示。将通带频率是 的系统函数变换为通带频率是的系统函数的变换关系为 模拟滤波器设计 实际信号除有用信号外，往往带有干扰，这些干扰有的是与有用信号同时 产生的，有的是在信号传输与处理过程中由于不同系统间的相互作用引起的。 在信号处理中从带有干扰的信号中分离出有用信号的装置称为滤波器。在电子 测量通信电视等领域，滤波器的使用极为广泛。 当有用信号与希望滤除的干扰占有不同的频带时，用个在有用信号频带 增益较高而在干扰频带增益较低的选频滤波器则能分离出有用信号。当有用 信号与干扰的频带有重叠时，需要按照随机信号内部的些统计分布规律最佳 地提取有用信号，如维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等最佳滤波器。 只介绍选频滤波器。 根据处理的是模拟信号还是数字信号，滤波器可分为模拟和数字两大类。 模拟滤波器用电路实现，数字滤波器用计算机数字信号处理芯片等完成有关 数字处理，通过定运算关系改变输入信号的频谱分布。数字滤波器和模拟滤 波器都起改变频谱分布的作用，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。 般来说，模拟滤波器成本低功耗小，目前频率可达几十。数字滤 波器则精度高，稳定灵活，便于实现模拟滤波器难以实现的特殊滤波功能。 滤波器设计问题主要是根据给定的频率响应指标确定系统函数的问题，其 内容相当广泛。本章介绍滤波器设计的基本概念和些实用方法首先介绍滤 波器的些典型逼近函数，主要为巴特沃思逼近和切比雪夫逼近然后介绍频 率变换，将低通滤波器的系统函数转换为带通高通等的系统函数接着再介 绍有源滤波器的概念。滤波器的些典型逼近函数 滤波器的频率响应 理想滤波器由于是不可实现的，它只有在理论分析中才有用。所幸的是， 实际中并不严格要求系统函数的幅度在干扰信号频带绝对为零，只要非常小就 行，在有用信号频带也不必定为恒定值，可以在很小的范围内变化，只要其 幅度相对较大幅频特性曲线也不必在频率处特别陡峭。 理论还证明，对物理可实现的滤波器，其系统函数的实部和虚部具有依从 关系，因而实际滤波器也就不能同时满足幅度要求和相位要求。 在滤波器设计中，由于幅度函数为角频率的偶对称函数，相位函数为 的奇对称函数，因而以下只考虑为正值时的频率响应。当幅度函数在频 率范围，内很小时，称该频率区间为阻带。当幅度函数在频率范围 ，内相对其它频率处的幅度较大，而且幅度的变化范围又比较小，称 该频率区间为通带。此外，还定义通带定后是的有理函 数，必为的有理函数。 则有  由于集总系统的系统函数是的有理函数，则性。率，， 为阻带频率，当幅频特性呈几何对称时，还定义中心频率  带阻滤波器的幅频曲线如图所示。 全通滤波器在所有频率处的幅度相同，它主要用于相位补偿。       低通幅度用表示         低通高通    系统的相移为，系统的相延迟时间和群延迟时间分别定义为  如果与频率的成线性关系，则与相等，且为常数。对线性时不变 系统，为超越函数，而群延迟时间总是的有理函数。 设和ˆ具有相同的极点，ˆ而二者的零点却以轴 成镜像关系ˆ，，如图所示。因ˆ，ˆ 系统在正弦输入下，输出信号相位与输入信号相位及系统函数 相位存在下式关系   带通带阻 图滤波器的幅频特性 二逼近的般方法 滤波器设计的首要任务是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数 必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定      低通       低通幅度用表示    全通滤波器在所有频率处的幅度相同率，， 为阻带频率，当幅频特性呈几何对称时，还定义中心频率  带阻滤波器的幅频曲线如图所示。滤波器的幅频曲线如图所示。滤波器的幅频曲线如图所示。，为通带频率，， 为阻带频率，当幅频特性呈几何对称时，还定义中心频率  带阻滤波器的幅频曲线如图所示。 全通滤波器在所有频率处的幅度相同，它主要用于相位补偿。       低通幅度用表示         低通高通     带通带阻 图滤波器的幅频特性 二逼近的般方法 滤波器设计的首要任务是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数 必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。由于为复 数  则有  由于集总系统的系统函数是的有理函数，则是的有理函 数，必为的有理函数。 在研究滤波器的逼近函数问题中，般由确定。当满足滤波器 技术指标要求的给定后，将表达式中的用替换，得出与 对应的，而后求出的极点和零点，由于是的有理函数，若为的个极点或零点，则也必然为极点或 零点，如图所示。显然，虚轴上的极点或零点必是二重的。  图极点或零点分布的对称性 根据平面上的零点与极点的分布图，考虑到必须是稳定的， 因此，位于左半平面的极点应属于，而右半平面的极点属于。然而， 零点的分配则不是惟的，现来考察它对频率特性的影响。 系统在正弦输入下，输出信号相位与输入信号相位及系统函数 相位存在下式关系  系统的相移为，系统的相延迟时间和群延迟时间分别定义为  如果与频率的成线性关系，则与相等，且为常数。对线性时不变 系统，为超越函数，而群延迟时间总是的有理函数。 设和ˆ具有相同的极点，ˆ而二者的零点却以轴 成镜像关系ˆ，，如图所示。因ˆ，ˆ，因此和ˆ具有相同的幅频特性。再看二者的相移 特性，分别为  ˆˆˆ 当时，因ˆ，ˆ，则 ˆ 以上讨论说明极点均位于左半平面且具有相同幅频特性的两个系统函数， 对任大于零的，全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于在右半为巴特沃思逼近图 为切比雪夫逼近，通带波纹或通带变化量图为反切比雪夫 逼近，阻带衰减或阻带变化量图为椭圆逼近，通带波纹， 阻带衰减。 由于任通带频率的系统函数可以利用频率变换方法从的得到， 以下取通带频率，只讨论低通滤波器的巴特沃思逼近函数和切比雪 夫逼近函数，其他逼近函数可参考有关滤波器设计手册。   图几种逼近函数的幅频特性 三巴特沃思逼近 巴特沃思低通滤波器院校和大型企业建立了稳定平泉县拥有各类商业网点个，其中中国北方食用菌交易料色香味俱佳，倍受消费者青睐料色香味原汁与水按可对成果汁饮和健康食品，前景极为广受消费者青睐。发展树莓生产，除鲜果供