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这个定理就这样证明完了。

的非常有用的表达式这里，的行张成了的零我们令和分别是的特征值中最大和最小特征值的重数。

我们可以确定的是和定都不为。

接下来的符号会非常有意义令是的组关于的正交特征向量，令，。

最优化条件。

定义个在对称矩阵集合上的内积个平凡的锥定义为提出个由向量，令，。

最优化条件。

部分内容简介我们令和分别是的特征值中最大和最小特征值的重数。

我们可以确定的是和定都不为。

接下来的符号会非常有意义令是的组关于的正交特征向量，令，。

最优化条件。

由指出的是，可以很方便的考虑最初的变量空间是所有的对称矩阵的集合，并考虑半正定锥定义个在对称矩阵集合上的内积个平凡的锥定义为提出个的非常有用的表达式这里，的行张成了的零空间现在考虑限制变量的空间∈∈∈∈由定义定理∈证明证明被省略，因为它和的证明几乎相同。

定理的证明包括了特殊情况值得提的个重点是，构建的个可行的弧需要对ε的情况在弧参数中进行扩增在我们的情况下，的情况可以完全被的情况所包含。

我们现在可以列出用于解决的关于的优化条件。

定理用来解决的关于的充要条件是存在的矩阵和的矩阵，分别满足这样，，这里，是在从开始的文中已经定义的。

证明通过和等价的凸问题，这个优化的充要条件是┇这里∈，∈，第章。

由定理我们因此需要这里∈，∈。

由我们有，对于些和，是的零空间的基，是的零空间的基。

现在，由提出的对任意的∈，∈和∈。

个证明是，这里中间的等号成立是因为，其中∈，∈。

这个定理就这样证明完了。

在和中的矩阵和相当于是乘数，这在下章节会变得更加清晰。

由于优化条件和是在整个矩阵上的条件，而不是分量条件，我们称和是矩阵或被称作向量。

附原文本科生毕业论文设计外文翻译姓名与学号张寒煜指导教师程晓良年级与专业信息与计算科学所在学院数学系最小化对称矩阵的最大特征值摘要个重要的优化问题是使个函数最小化，其中是个关于的对称矩阵的最大特征值取绝对值。

如果这个矩阵函数是仿射的，那么就是凸的。

然而，是不可微的，因为特征值是不可微在它们聚结点。

本文提出的个算法用来取得最小化的是具有二次速率的。

二阶导数都无须取得二次收敛的情况下，这个解是唯的。

该算法的个重要特征是能够分割的多个特征值，如果必要的话，以取得下降方向。

在这些方面，该算法对第类方法显示出显著改进。

这种新方法与对半定约束和，和逆特征值问题的近期工作有很多共同之处。

并会给出些数值例子。

关键字非光滑的优化，不可微的优化，凸规划，半定约束，最大奇异值的最小化简介。

很多重要的优化问题涉及特征值的约束。

举个例子，结构工程，我们不妨以尽量减少些结构受限于它的固有频率约束的成本。

个相当常见的产生于控制工程的问题是条件是，是个关于的仿射函数的实对称矩阵，且，是的特征值。

既然是个仿射函数，那么它可以写作函数是凸的，因为个矩阵的最大特征值关于矩阵的元素是个凸函数。

个重要的特殊例子是这里是单位矩阵的第行，所以需要注意的是，非对称矩阵的最大奇异值的最小化问题的可以写作的形式，其中矩阵的特征值或加或减形成的奇异值。

毫无疑问的，结果可以通过更直接地处理奇异值问题来获得。

最小化的困难在于，这个方程是不可微的，因为特征值是不可微在它们聚结点。

此外，我们通常可以想到的解决方案是在个不可微点，由于的最小化般驱动多个特征值，以得到相同的最小值。

在这篇文章中，我们提出个算法来解决具有二次渐近收敛。

此外，二阶导数并不总是需要获得二次收敛。

为了让这篇文章显得短小精悍，我们不会给出收敛的证明以及，我们会忽略些算法的细节，但是主旨为非常的清晰。

我们相信这是第次有二次收敛算法，或任何实用的高精度算法，用来描述最小化问题。