得，是周期为的周期函数又当，且时，图象的条对称轴则正确命题的序号是解析令中，得，又，故正确由，答案考查角度三函数的奇偶性周期性单调性结合例南京师大附中已知函数是定义在上的奇函数，∀，函数为奇函数，由于，所以函数的周期为，即苏州模拟定义在上的函数满足且当，时则解析由于，且，所以偶性与周期性结合例南通调研设是上的奇函数，且，当时则解析故的周期为，又为奇函数答案探究提高此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解训练苏州模拟定义在上的函数满足且当，时则解析由于，且，所以函数为奇函数，由于，所以函数的周期为，即，答案考查角度三函数的奇偶性周期性单调性结合例南京师大附中已知函数是定义在上的奇函数，∀，成立，当，且时，有给出下列命题在，上有个零点点，是函数图象的个对称中心直线是函数图象的条对称轴则正确命题的序号是解析令中，得，又，故正确由，得，是周期为的周期函数又当，且时，有，函数在区间，上单调递减，可作函数的简图如图由图知也正确，不正确，所以正确命题的序号为答案探究提高函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题训练已知定义在上的奇函数满足，且在的定义域相同，转化为解不等式训练已知函数的定义域是则函数的定义域为解析因为的定义域是即，所以，又与的值域相同所以，解得故的定义域是，答案，创新探究二抽象函数的函数值例已知函数满足，则解析令则，所以令，则用替换，令，则，整理，得，同理可得由得所以，即是以为周期的周期函数，于是答案探究提高赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转化解答训练已知定义在上的单调函数满足存在实数，使得对于任意实数总有恒成立求的值解因为对于任意实数总有恒成立，令得，所以令得，所以所以又是上的单调函数，所以创新探究三抽象函数的单调性与不等式例设函数是定义在，上的增函数，且满足若，且，求实数的取值范围解因为，且，所以又，所以再由，可知因为是定义在，上的增函数，从而有，解得故所求实数的取值范围是，探究提高解答此类抽象不等式问题，不仅要注意函数单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性如本题中许多同学容易漏掉而直接利用单调性得出训练函数的定义域为，，满足对∀，，有求的值判断的奇偶性并证明你的结论若，且在，上是增函数，求的取值范围解∀，，有，令，得，在上为偶函数，证明如下令，有令有，在上为偶函数依题意，由，由知，是偶函数即为又在，上是增函数解得且，的取值范围是，，复习导读高考常将函数的单调性奇偶性及周期性相结合命题，以填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题抽象函数的定义域奇偶性单调性直是同学们的难点，近几年考查的也较少，常以填空题的形式考查考点函数基本性质的综合应用考查角度函数的单调性与奇偶性结合例设偶函数的定义域为，当，时是增函数，则从大到小的顺序是已知函数是定义域为的偶函数，且在区间，上是增函数，若，则实数的取值范围是解析因为，且当，时是增函数，所以又函数为上的偶函数，所以故函数是上的偶函数，且在，上是增函数，所以在，上是减函数当时，由，知当时，由可得，知故实数的取值范围是，，答案，，探究提高比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统，应利用图象的对称性将两个值化归到同个单调区间，然后再根据单调性判断对于求取值范围的问题，般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号，转化为解不等式组的问题需要注意的是在转化时，自变量的取值必须在同单调区间上当不等式边没有符号时，需转化为含符号的形式，如若已知则训练已知是定义在上的偶函数，在区间，上为增函数，且，则不等式的解集为解析在上为偶函数，且，等价于，又在，上为增函数，，即或，解得或该不等式的解集为，，答案，，考查角度二函数的奇偶性与周期性结合例南通调研设是上的奇函数，且，当时则解析故的周期为，又为奇函数答案探究提高此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解训练苏州模拟定义在上的函数满足且当，时则解析由于，且，所以函数为奇函数，由于，所以函数的周期为，即，答案考查角度三函数的奇偶性周期性单调性结合例南京师大附，又为奇函数答案探究提高此类问题多考查求值，且，当时则解析故的周期为，，整理，得，同理可得解析令则，所以令，则用替换，令，则不正确，所以正确命题的序号为答案探究提高函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借，解得故的定义域是，答案，创新探究二抽象函数的函数值例已知训练已知函数的定义域是则函数的定义域为解析因为的定义域是即，所以，又与的值域相同所以，即是以为周期的周期函数，于是答案探究提高赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘助函数的奇偶性和周期性来确定另区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题训练已出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转化解答训练已知定义在上的单调函数满足存在实数，使得对于任意实数总有恒成立求的值解因为对于任意实数总有恒成立，令得，所以令得，所以所以又是上的单调函数，所以创新探究三抽象函数的单调性与不等式例设函数是定义在，上的增函数，且满足若，且，求实数的取值范围解因为，且，所以又成立，当，且时，有给出下列命题解析由于，且，所以函数为奇函数，由于，所以函数的周期为，即，答案考查角度三函数的奇偶性周期性单调性结合例南京师大附中已知函数是定义在上的奇函数，∀，成立，当，且时，有给出下列命题在，上有个零点点，是函数图象的个对称中心直线是函数图象的条对称轴则正确命题的序号是解析令中，得，又，